Per una dimostrazione completa, vedere l’articolo sulla reciprocità (elettromagnetismo). Qui, presentiamo una prova semplice comune limitata all’approssimazione di due antenne separate da una grande distanza rispetto alla dimensione dell’antenna, in un mezzo omogeneo. La prima antenna è l’antenna di prova i cui modelli devono essere studiati; questa antenna è libera di puntare in qualsiasi direzione. La seconda antenna è un’antenna di riferimento, che punta rigidamente verso la prima antenna.
Ogni antenna è collegata alternativamente a un trasmettitore con una particolare impedenza di sorgente e a un ricevitore con la stessa impedenza di ingresso (l’impedenza può differire tra le due antenne).
Si suppone che le due antenne siano sufficientemente distanti tra loro, in modo che le proprietà dell’antenna trasmittente non siano influenzate dal carico dell’antenna ricevente. Di conseguenza, la quantità di potenza trasferita dal trasmettitore al ricevitore può essere espressa come il prodotto di due fattori indipendenti; uno dipende dalle proprietà direzionali dell’antenna trasmittente, e l’altro dipende dalle proprietà direzionali dell’antenna ricevente.
Per l’antenna trasmittente, con la definizione di guadagno, G {\displaystyle G}
, la densità di potenza di radiazione ad una distanza r {displaystyle r}
dall’antenna (cioè la potenza che passa per unità di superficie) è W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\displaystyle \mathrm {W} (\theta ,\Phi )={frac {mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}P_{t}
.
Qui, gli angoli θ {displaystyle \theta }
e Φ {displaystyle \Phi }
indicano una dipendenza dalla direzione dall’antenna, e P t {displaystyle P_{t}
sta per la potenza che il trasmettitore fornirebbe in un carico accoppiato. Il guadagno G {displaystyle G}
può essere suddiviso in tre fattori; il guadagno dell’antenna (la ridistribuzione direzionale della potenza), l’efficienza di radiazione (tenendo conto delle perdite ohmiche nell’antenna), e infine la perdita dovuta al disadattamento tra l’antenna e il trasmettitore. Strettamente, per includere il mismatch, dovrebbe essere chiamato il guadagno realizzato, ma questo non è di uso comune.
Per l’antenna ricevente, la potenza fornita al ricevitore è
P r = A ( θ , Φ ) W {\displaystyle P_{r}=\mathrm {A} (\theta ,\Phi )W\,}
.
Qui W {displaystyle W}
è la densità di potenza della radiazione incidente, e A {displaystyle A}
è l’apertura dell’antenna o area effettiva dell’antenna (l’area che l’antenna dovrebbe occupare per intercettare la potenza catturata osservata). Gli argomenti direzionali sono ora relativi all’antenna ricevente, e di nuovo A {displaystyle A}
è preso per includere le perdite ohmiche e di mismatch.
Mettendo insieme queste espressioni, la potenza trasferita dal trasmettitore al ricevitore è
P r = A G 4 π r 2 P t {\displaystyle P_{r}=A{frac {G}{4\pi r^{2}}}P_{t}}
,
dove G {displaystyle G}
e A {displaystyle A}
sono proprietà dipendenti dalla direzione delle antenne trasmittente e ricevente rispettivamente. Per la trasmissione dall’antenna di riferimento (2), all’antenna di prova (1), cioè P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi ){\frac {G_{2}}{4\pi r^{2}}}P_{2t}
,
e per la trasmissione nella direzione opposta
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {displaystyle P_{2r}=A_{2}{frac {\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}P_{1t}
.
Qui, il guadagno G 2 {displaystyle G_{2}}
e l’area effettiva A 2 {displaystyle A_{2}
dell’antenna 2 sono fisse, perché l’orientamento di questa antenna è fisso rispetto alla prima.
Ora per una data disposizione delle antenne, il teorema di reciprocità richiede che il trasferimento di potenza sia ugualmente efficace in ogni direzione, cioè
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {\displaystyle {\frac {P_{1r}}{P_{2t}}={\frac {P_{2r}{P_{1t}}}}
,
quindi
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\displaystyle {\frac {mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi )}{mathrm {G_{1} (\theta ,\Phi )}}={frac {A_{2}{G_{2}}}}
.
Ma il lato destro di questa equazione è fisso (perché l’orientamento dell’antenna 2 è fisso), e quindi
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t e {\displaystyle {\frac {mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi )}{mathrm {G_{1} (\theta ,\Phi )}=mathrm {constant} }
,
cioè la dipendenza direzionale dell’apertura effettiva (ricevente) e il guadagno (trasmittente) sono identici (QED). Inoltre, la costante di proporzionalità è la stessa indipendentemente dalla natura dell’antenna, e quindi deve essere la stessa per tutte le antenne. L’analisi di una particolare antenna (come un dipolo hertziano), mostra che questa costante è λ 2 4 π {displaystyle {frac {lambda ^{2}}{4\pi}}
, dove λ {displaystyle \lambda }
è la lunghezza d’onda dello spazio libero. Quindi, per qualsiasi antenna il guadagno e l’apertura effettiva sono legati da A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )={frac {lambda ^{2}mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi}}
.
Anche per un’antenna ricevente, è più usuale dichiarare il guadagno che specificare l’apertura effettiva. La potenza fornita al ricevitore è quindi più comunemente scritta come
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {\displaystyle P_{r}={\frac {lambda ^{2}G_{r}G_{t}}(4\pi r)^{2}}}P_{t}}
(vedi link bilancio). L’apertura effettiva è comunque interessante per il confronto con l’effettiva dimensione fisica dell’antenna.
Conseguenze praticheModifica
- Quando si determina il diagramma di un’antenna ricevente tramite simulazione al computer, non è necessario eseguire un calcolo per ogni possibile angolo di incidenza. Invece, il modello di radiazione dell’antenna è determinato da una singola simulazione, e il modello di ricezione dedotto per reciprocità.
- Quando si determina il modello di un’antenna tramite misurazione, l’antenna può essere sia ricevente che trasmittente, qualunque sia più conveniente.
- Per un’antenna pratica, il livello del lobo laterale dovrebbe essere minimo, è necessario avere la massima direttività.