7.8.1 L’elasticità della domanda
L’elasticità della domanda misura la sensibilità della quantità richiesta al prezzo: ci dice la variazione percentuale della quantità richiesta quando il prezzo cambia dell’1%. In questo Leibniz, definiamo l’elasticità usando il calcolo, e mostriamo come le decisioni di prezzo di un’impresa dipendono dall’elasticità della domanda che affronta.
Ci sono due modi di scrivere una funzione di domanda. In precedenza abbiamo descritto la domanda di Beautiful Cars usando la funzione di domanda inversa:
dove è il prezzo a cui l’azienda può vendere esattamente le auto. Per definire l’elasticità è più conveniente scrivere la funzione di domanda nella sua forma diretta:
è la quantità di Beautiful Cars richiesta se il prezzo è . (La funzione è la funzione inversa di ; matematicamente, possiamo scrivere .)
La derivata della funzione di domanda è . Questo è un modo di misurare quanto cambia la domanda dei consumatori in risposta a un cambiamento di prezzo. Ma non è una misura molto utile, poiché dipende dalle unità in cui e sono misurate. Per esempio, otterremmo una risposta diversa se il prezzo fosse in euro, piuttosto che in dollari.
Invece, abbiamo definito l’elasticità della domanda al prezzo nel testo come:
Questa è una misura più utile della reattività della domanda al prezzo. Si può vedere dalla definizione che è indipendente dalle unità di misura. Ma è strettamente legato alla derivata – per vedere questo, supponiamo che il prezzo cambi da a , causando la quantità richiesta a cambiare da a . La variazione percentuale del prezzo è , e la variazione percentuale della quantità è . Sostituendo questi nell’espressione per l’elasticità, otteniamo:
Prendendo il limite di questa espressione come ci dà la definizione di calcolo dell’elasticità della domanda al prezzo, che denotiamo con come nel testo:
E poiché , l’elasticità può anche essere scritta come:
Nota che il valore dell’elasticità è normalmente positivo, poiché secondo la Legge della Domanda, la derivata della funzione di domanda sarà negativa.
Quando definito in questo modo, usando il calcolo, è solo approssimativamente lo stesso della nostra definizione originale dell’elasticità come la caduta percentuale della quantità richiesta quando il prezzo aumenta dell’1%. Ma sul presupposto ragionevole che l’1% è una piccola quantità, è un’approssimazione vicina, e spesso la interpretiamo così.
Considera la funzione di domanda:
Qui,
In questo caso particolare, l’elasticità della domanda è costante-è uguale a in tutti i punti della curva di domanda.
In generale, le elasticità non sono costanti. Variano man mano che ci muoviamo lungo la curva di domanda. Ma l’esempio sopra illustra un caso speciale. Se la forma della funzione di domanda è , dove e sono costanti positive, l’elasticità della domanda è . Questa è l’unica classe di funzioni di domanda per cui l’elasticità è costante.
Espressione dell’elasticità in termini di quantità
Un’altra espressione per l’elasticità della domanda può essere ottenuta tornando alla funzione di domanda inversa . Per la regola della funzione inversa,
così
Un secondo esempio: supponiamo che Beautiful Cars affronti la funzione di domanda inversa
come nella figura 7.15 del testo. Usando l’espressione precedente, l’elasticità della domanda è:
In alternativa, possiamo esprimere l’elasticità in termini di prezzo: , quindi
Ognuna delle due espressioni per mostra che cade man mano che ci spostiamo verso destra lungo la curva di domanda, aumentando e riducendo . Questo è così per ogni funzione di domanda lineare, come è il risultato che si avvicina come si avvicina e si avvicina come si avvicina al suo valore massimo, dove . Così se Beautiful Cars vende solo due auto al giorno a un prezzo di 7.840 dollari, l’elasticità della domanda è 49; mentre se l’azienda vende 95 auto al giorno facendo pagare solo 400 dollari per auto, con tre cifre decimali.
Elasticità e reddito marginale
Abbiamo visto in Leibniz 7.6.1 che se la funzione di domanda inversa di Beautiful Cars è , la sua funzione di ricavo è
e che il ricavo marginale (MR) è definito come segue:
Riscrivendo questa espressione usando la formula e utilizzando il fatto che , vediamo che c’è una relazione tra il ricavo marginale e l’elasticità della domanda:
Questo implica che il ricavo marginale sarà positivo se , negativo se .
Come è stato notato nel testo, la domanda si dice elastica se , inelastica se . Il secondo esempio mostra che la domanda può essere elastica e anelastica in punti diversi della stessa curva di domanda. Quello che abbiamo appena mostrato è che il ricavo marginale è positivo se, e solo se, l’impresa sta operando su quella parte della curva di domanda in cui la domanda è elastica. In particolare, questo sarà così se l’impresa massimizza il suo profitto e quindi sceglie la sua produzione per eguagliare il ricavo marginale e il costo marginale, poiché il costo marginale è positivo.
Il markup
Ricordiamo da Leibniz 7.6.1 che la condizione di primo ordine per la massimizzazione del profitto è , dove è il costo marginale. Usando la formula per il ricavo marginale che abbiamo appena derivato, possiamo scrivere la condizione di primo ordine come segue:
Rirrangiando,
Il lato sinistro di questa equazione è il markup dell’impresa, cioè il margine di profitto in proporzione al prezzo. L’equazione ci dice che il margine di profitto (al punto di massimizzazione del profitto) sarà maggiore, più piccola è l’elasticità della domanda. Per esempio, se l’elasticità della domanda è al punto ottimale, c’è un margine di profitto di , mentre un’elasticità della domanda di significa che il margine di profitto è , quindi l’azienda fisserà il suo prezzo a cinque volte il costo marginale. La relazione inversa tra il ricarico e l’elasticità della domanda al prezzo è illustrata dalle figure 7.16 e 7.17 del testo, riprodotte di seguito come figura 1.
Figura 1 Massimizzazione del profitto con domanda elastica (diagramma superiore) e anelastica (diagramma inferiore).
Elasticità in generale
L’elasticità è un concetto matematico generale, anche se, per quanto ne sappiamo, solo gli economisti lo usano. Supponiamo di avere una funzione differenziabile , dove e assume solo valori positivi. L’elasticità di rispetto a può essere definita come:
Questo è il limite del rapporto
quando il denominatore si avvicina a zero. Un’alternativa, che abbiamo usato nel caso dell’elasticità della domanda rispetto al prezzo, è di definire l’elasticità come il valore assoluto di questo limite.
Leggi di più: Sezioni 6.4 e 7.4 di Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Matematica per gli economisti: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.