BIBLIOGRAFIA
In un problema di ottimizzazione, c’è una funzione (a valore reale) che deve essere massimizzata o minimizzata. Questa funzione è spesso chiamata funzione obiettivo, un termine che sembra essere sorto nel regno della pianificazione e della programmazione, in particolare della programmazione lineare, attraverso il lavoro del matematico George Dantzig (1914-2005). Prima del 1947, quando Dantzig inventò il problema della programmazione lineare e il metodo simplex per la sua soluzione, i piani logistici militari, chiamati “programmi”, comportavano un processo decisionale su larga scala basato su regole di base. Dantzig creò modelli matematici per catturare le condizioni che dovevano essere soddisfatte e un criterio per scegliere una soluzione fattibile piuttosto che un’altra. Questo ha dato un contributo significativo ad una sfera vitale di attività. Dantzig inaugurò una nuova era nel processo decisionale e portò avanti il termine funzione obiettivo come espressione matematica numerica per l’obiettivo che doveva essere raggiunto dal programma.
Quindi, una funzione obiettivo misura la “bontà” di un vettore fattibile, cioè un vettore le cui coordinate soddisfano tutte le condizioni laterali imposte, se esistono. Per illustrare, in un problema di programmazione lineare,
la funzione obiettivo è la forma lineare p 1x 1 + p 2x 2 + … + pnxn, che potrebbe, per esempio, misurare il reddito totale risultante dalle vendite nelle quantità x1, x2, …, xn ai prezzi unitari p 1, p 2, … pn. Le disuguaglianze in questa illustrazione rappresentano condizioni laterali (o vincoli) sulle variabili x 1, x 2, …, xn.
Questo non vuol dire che tutte le funzioni obiettivo (o tutti i vincoli) siano di questo tipo. Possono essere lineari o non lineari, a seconda di come viene definita la bontà nel contesto applicato. La funzione che viene minimizzata in una stima dei parametri con il criterio dei “minimi quadrati” è un esempio di funzione obiettivo non lineare (in realtà quadratica). In problemi di questo tipo, le “variabili” in questione possono essere “libere” (non vincolate) o vincolate. Nel caso non lineare, la convessità (o la sua mancanza) diventa un problema importante dal punto di vista della teoria dell’ottimizzazione.
Il concetto di base di una funzione obiettivo – con un nome diverso o senza alcun nome – esisteva già da secoli prima che Dantzig introducesse questa particolare terminologia. Basta ricordare il metodo dei moltiplicatori ideato da Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) per problemi di ottimizzazione con vincoli di uguaglianza. Molti termini sinonimi sono in uso. Tra quelli più astratti ci sono maximando per problemi di massimizzazione e minimando per problemi di minimizzazione. Questi termini possono essere usati nei rispettivi problemi di ottimizzazione indipendentemente dall’applicazione. In aree applicate come l’econometria, si trova il termine funzione criterio. Altri ancora con un’ovvia connessione all’economia sono funzione di benessere sociale, funzione di benessere economico, funzione di perdita e funzione di profitto. Altri esempi provenienti da altri campi sono la funzione di distanza e il valore di flusso; il punto è che il termine usato al posto di funzione obiettivo potrebbe riferirsi a ciò che sta misurando.
Si veda anche Koopmans, Tjalling; Massimizzazione; Preferenze; Preferenze, interdipendenti; Modelli agente principale; Programmazione, lineare e non lineare; Razionalità; Agente rappresentativo; Funzioni di benessere sociale; Funzione di utilità
BIBLIOGRAFIA
Bergson, Abram. 1938. Una riformulazione di alcuni aspetti dell’economia del benessere. Quarterly Journal of Economics 52: 310-334.
Dantzig, George B. 1963. Programmazione lineare ed estensioni. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Dorfman, Robert, Paul A. Samuelson, e Robert M. Solow. 1958. Linear Programming and Economic Analysis. New York: McGraw-Hill.
Koopmans, Tjalling C. 1951. Introduzione. In Activity Analysis of Production and Allocation, ed. Tjalling C. Koopmans, 1-12. New York: Wiley.
Lagrange, Joseph-Louis. 1797. Théorie des fonctions analytiques. Paris: Imprimerie de la République.
Lange, Oskar. 1942. I fondamenti dell’economia del benessere. Econometrica 10: 215-228.
Wood, Marshall K., and George B. Dantzig. 1951. La programmazione delle attività interdipendenti: Discussione generale. In Activity Analysis of Production and Allocation, ed. Tjalling C. Koopmans, 15-18. New York: Wiley.
Richard W. Cottle