Anello

Un anello in senso matematico è un insieme insieme a due operatori binari e (comunemente interpretati come aggiunta e moltiplicazione, rispettivamente) che soddisfano le seguenti condizioni:

1. Associatività additiva: Per tutti i , ,

2. Commutatività additiva: Per tutti i , ,

3. Identità additiva: Esiste un elemento tale che per tutti i , ,

4. Inverso additivo: Per ogni esiste tale che ,

5. Distribuibilità sinistra e destra: Per tutti i , e ,

6. Associatività moltiplicativa: Per tutti i , (un anello che soddisfa questa proprietà è talvolta definito esplicitamente un anello associativo).

Le condizioni 1-5 sono sempre richieste. Sebbene esistano anelli non associativi, praticamente tutti i testi richiedono anche la condizione 6 (Itô 1986, pp. 1369-1372; p. 418; Zwillinger 1995, pp. 141-143; Harris e Stocker 1998; Knuth 1998; Korn e Korn 2000; Bronshtein e Semendyayev 2004):

7. Commutatività moltiplicativa: Per tutti i , (un anello che soddisfa questa proprietà è chiamato anello commutativo),

8. Identità moltiplicativa: Esiste un elemento tale che per tutti i , (un anello che soddisfa questa proprietà è chiamato anello unitario, o talvolta “anello con identità”),

9. Inverso moltiplicativo: Per ogni in , esiste un elemento tale che per tutti i , , dove 1 è l’elemento identità.

Un anello che soddisfa tutte le proprietà addizionali 6-9 è chiamato campo, mentre uno che soddisfa solo le proprietà addizionali 6, 8 e 9 è chiamato algebra di divisione (o campo inclinato).

Alcuni autori si discostano dalla convenzione normale e richiedono (nella loro definizione) che un anello includa proprietà addizionali. Per esempio, Birkhoff e Mac Lane (1996) definiscono un anello per avere un’identità moltiplicativa (cioè la proprietà 8).

Ecco una serie di esempi di anelli privi di particolari condizioni:

1. Senza associatività moltiplicativa (talvolta chiamati anche algebre non associative): ottoni, OEIS A037292,

2. Senza commutatività moltiplicativa: Matrici a valore reale , quaternioni,

3. Senza identità moltiplicativa: Interi pari,

4. Senza inversione moltiplicativa: interi.

La parola anello è l’abbreviazione della parola tedesca ‘Zahlring’ (anello di numeri). La parola francese per un anello è anneau, e la parola tedesca moderna è Ring, entrambi significano (non così sorprendentemente) “anello”. Fraenkel (1914) diede la prima definizione astratta dell’anello, anche se questo lavoro non ebbe molto impatto. Il termine fu introdotto da Hilbert per descrivere anelli come

Moltiplicando successivamente il nuovo elemento , esso alla fine gira intorno per diventare qualcosa di già generato, qualcosa come un anello, cioè è nuovo ma è un intero. Tutti i numeri algebrici hanno questa proprietà, ad esempio, soddisfa .

Un anello deve contenere almeno un elemento, ma non deve necessariamente contenere un’identità moltiplicativa o essere commutativo. Il numero di anelli finiti di elementi per , 2, …, sono 1, 2, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 4, … (OEIS A027623 e A037234; Fletcher 1980). Se e sono primi, ci sono due anelli di dimensione , quattro anelli di dimensione , 11 anelli di dimensione (Singmaster 1964, Dresda), 22 anelli di dimensione , 52 anelli di dimensione per , e 53 anelli di dimensione per (Ballieu 1947, Gilmer e Mott 1973; Dresda).

Un anello che è commutativo sotto moltiplicazione, ha un elemento unitario e non ha divisori di zero è chiamato dominio integrale. Un anello i cui elementi non nulli formano un gruppo moltiplicativo commutativo si chiama campo. Gli anelli più semplici sono gli interi , i polinomi e in una e due variabili, e le matrici reali quadrate .

Gli anelli che sono stati studiati e si sono rivelati interessanti sono di solito chiamati con il nome di uno o più dei loro ricercatori. Questa pratica sfortunatamente porta a nomi che danno pochissime informazioni sulle proprietà rilevanti degli anelli associati.

Renteln e Dundes (2005) fanno la seguente (brutta) battuta matematica sugli anelli:

Q: Qual è un gruppo abeliano sotto addizione, chiuso, associativo, distributivo, e porta una maledizione? R: L’anello del Nibelungo.