Le somme parziali di 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ sono 1, 3, 7, 15, …; poiché queste divergono all’infinito, così fa la serie.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\displaystyle 2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Quindi, qualsiasi metodo di somma totalmente regolare dà una somma di infinito, comprese la somma di Cesàro e la somma di Abel. D’altra parte, c’è almeno un metodo generalmente utile che somma 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ al valore finito di -1. La serie di potenza associata
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}
ha un raggio di convergenza intorno a 0 di solo 1/2, quindi non converge a x = 1. Tuttavia, la funzione f così definita ha una continuazione analitica unica nel piano complesso con il punto x = 1/2 eliminato, ed è data dalla stessa regola f(x) = 1/1 – 2x. Poiché f(1) = -1, la serie originale 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ si dice sommabile (E) a -1, e -1 è la somma (E) della serie. (La notazione è dovuta a G. H. Hardy in riferimento all’approccio di Leonhard Euler alle serie divergenti).
Un approccio quasi identico (quello adottato da Euler stesso) è quello di considerare le serie di potenza i cui coefficienti sono tutti 1, cioècioè
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}
e inserendo y = 2. Queste due serie sono legate dalla sostituzione y = 2x.
Il fatto che la somma (E) assegna un valore finito a 1 + 2 + 4 + 8 + … mostra che il metodo generale non è totalmente regolare. D’altra parte, possiede alcune altre qualità desiderabili per un metodo di somma, tra cui la stabilità e la linearità. Questi ultimi due assiomi costringono effettivamente la somma a essere -1, poiché rendono valida la seguente manipolazione:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+punti \&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+punti )\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}
In un senso utile, s = ∞ è una radice dell’equazione s = 1 + 2s. (Per esempio, ∞ è uno dei due punti fissi della trasformazione di Möbius z → 1 + 2z sulla sfera di Riemann). Se qualche metodo di somma è noto per restituire un numero ordinario per s, cioè non ∞, allora è facilmente determinabile. In questo caso s può essere sottratto da entrambi i lati dell’equazione, ottenendo 0 = 1 + s, quindi s = -1.
La manipolazione di cui sopra potrebbe essere chiamata a produrre -1 fuori dal contesto di una procedura di somma sufficientemente potente. Per i concetti di somma più noti e semplici, compreso quello fondamentale convergente, è assurdo che una serie di termini positivi possa avere un valore negativo. Un fenomeno simile si verifica con la serie geometrica divergente 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯, dove una serie di interi sembra avere la somma non intera 1/2. Questi esempi illustrano il potenziale pericolo nell’applicare argomenti simili alle serie implicate da decimali ricorrenti come 0,111… e soprattutto 0,999…. Gli argomenti sono alla fine giustificati per queste serie convergenti, implicando che 0,111… = 1/9 e 0,999… = 1, ma le prove sottostanti richiedono una riflessione attenta sull’interpretazione delle somme infinite.
È anche possibile vedere questa serie come convergente in un sistema numerico diverso dai numeri reali, cioè i numeri 2-adici. Come serie di numeri 2-adici questa serie converge alla stessa somma, -1, come è stata derivata sopra per continuazione analitica.
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