A teljes bizonyításért lásd a reciprocitás (elektromágnesesség) című szócikket. Itt egy közös egyszerű bizonyítást mutatunk be, amely két, az antenna méretéhez képest nagy távolsággal elválasztott antenna közelítésére korlátozódik, homogén közegben. Az első antenna az a tesztantenna, amelynek mintázatát vizsgálni kívánjuk; ez az antenna szabadon mutathat bármilyen irányba. A második antenna egy referenciaantenna, amely mereven az első antennára mutat.
Minden antennát felváltva egy adott forrásimpedanciájú adóhoz és egy azonos bemeneti impedanciájú vevőhöz csatlakoztatunk (az impedancia a két antenna között eltérő lehet).
Feltételezzük, hogy a két antenna elég távol van egymástól ahhoz, hogy az adóantenna tulajdonságait ne befolyásolja a vevőantenna által ráadott terhelés. Következésképpen az adóból a vevőbe átvitt teljesítmény mennyisége két független tényező szorzataként fejezhető ki; az egyik az adóantenna irányított tulajdonságaitól, a másik a vevőantenna irányított tulajdonságaitól függ.
Az adóantenna esetében az erősítés definíciója szerint G {\displaystyle G}
, a sugárzási teljesítménysűrűség r távolságra {\displaystyle r}
az antennától (azaz az egységnyi területen áthaladó teljesítmény): W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\displaystyle \mathrm {W} (\theta ,\Phi )={\frac {\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}P_{t}}}
.
Itt a szögek θ {\displaystyle \theta }
és Φ {\displaystyle \Phi }
az antennától való irányfüggést jelzik, és P t {\displaystyle P_{t}}
azt a teljesítményt jelöli, amelyet az adó egy illesztett terhelésre leadna. Az erősítés G {\displaystyle G}
három tényezőre bontható; az antenna nyereségére (a teljesítmény irányított újraelosztása), a sugárzási hatékonyságra (az antenna ohmos veszteségeit figyelembe véve), és végül az antenna és az adó közötti nem illesztésből eredő veszteségre. Szigorúan véve, hogy a hibás illeszkedést is figyelembe vegyük, azt realizált erősítésnek kellene nevezni, de ez nem általános használat.
A vevőantenna esetében a vevőnek leadott teljesítmény
P r = A ( θ , Φ ) W {\displaystyle P_{r}=\mathrm {A} (\theta ,\Phi )W\,}
.
Itt W {\displaystyle W}
a beeső sugárzás teljesítménysűrűsége, és A {\displaystyle A}
az antenna apertúrája vagy az antenna effektív területe (az a terület, amelyet az antennának el kellene foglalnia ahhoz, hogy a megfigyelt befogott teljesítményt felfogja). Az irányított érvek most a vevőantennához viszonyítva vannak, és ismét A {\displaystyle A}
az ohmos és az illesztési veszteségeket is magában foglalja.
Ezeket a kifejezéseket összevetve, az adóból a vevőbe átvitt teljesítmény
P r = A G 4 π r 2 P t {\displaystyle P_{r}=A{\frac {G}{4\pi r^{2}}}P_{t}}}
,
ahol G {\displaystyle G}
és A {\displaystyle A}
az adó- és a vevőantenna irányfüggő tulajdonságai. A referenciaantennáról (2) a tesztantennára (1) történő átvitelhez, azaz P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi ){\frac {G_{2}}{4\pi r^{2}}}}P_{2t}}
,
és az ellenkező irányú átvitelre
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {\displaystyle P_{2r}=A_{2}{\frac {\mathrm {G_{1}}} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}} P_{1t}}
.
Itt az erősítés G 2 {\displaystyle G_{2}}
és az effektív terület A 2 {\displaystyle A_{2}}
a 2. antennának fix, mert ennek az antennának a tájolása az elsőhöz képest fix.
Az antennák adott elrendezése esetén a reciprocitási tétel megköveteli, hogy a teljesítményátvitel mindkét irányban egyformán hatékony legyen, azaz
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {\displaystyle {\frac {P_{1r}}{P_{2t}}}={\frac {P_{2r}}{P_{1t}}}}
,
amiből
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}={\frac {A_{2}}{G_{2}}}}
.
De ennek az egyenletnek a jobb oldala fix (mert a 2. antenna orientációja fix), és így
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}=\mathrm {konstant} }
,
azaz a (vételi) effektív apertúra és az (átviteli) erősítés irányfüggése azonos (QED). Továbbá az arányossági állandó az antenna jellegétől függetlenül azonos, tehát minden antennánál azonosnak kell lennie. Egy adott antenna (például egy Hertz-dipólus) elemzése azt mutatja, hogy ez az állandó λ 2 4 π {\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}}
, ahol λ {\displaystyle \lambda }
a szabad tér hullámhossza. Ezért bármely antenna esetében az erősítés és az effektív apertúra az A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {\displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )={\frac {\lambda ^{2}\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi}}}
.
Még egy vevőantenna esetében is inkább az erősítést szokás megadni, mint az effektív apertúrát. A vevőkészülékre leadott teljesítményt ezért általában így írjuk fel:
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {\displaystyle P_{r}={\frac {\lambda ^{2}G_{r}G_{t}}}{(4\pi r)^{2}}}P_{t}}}P_{t}}
(lásd a link költségvetést). Az effektív apertúra azonban az antenna tényleges fizikai méretével való összehasonlítás szempontjából érdekes.
Gyakorlati következményekSzerkesztés
- A vételi antenna mintázatának számítógépes szimulációval történő meghatározásakor nem szükséges minden lehetséges beesési szögre számítást végezni. Ehelyett az antenna sugárzási mintázatát egyetlen szimulációval határozzuk meg, a vételi mintázatra pedig reciprocitással következtetünk.
- Az antenna mintázatának méréssel történő meghatározásakor az antenna lehet vevő vagy adó, attól függően, hogy melyik a kényelmesebb.
- Egy gyakorlati antenna esetében az oldalnyalábszintnek minimálisnak kell lennie, szükséges a maximális irányíthatóság.