A problémamegoldás művészete

A diofantikus egyenlet olyan egyenlet, amely egész (vagy néha természetes vagy egész szám) kvantitásokkal kapcsolatos.

A diofantikus egyenlet megoldásának vagy megoldásainak megtalálása szorosan kapcsolódik a moduláris aritmetikához és a számelmélethez. Gyakran, amikor egy diofantikus egyenletnek végtelen sok megoldása van, parametrikus formát használnak az egyenlet változói közötti kapcsolat kifejezésére.

A diofantikus egyenleteket az ókori görög/alexandriai matematikusról, Diophantoszról nevezték el.

Lineáris kombináció

A alakú diofantikus egyenletet lineáris kombinációnak nevezik. Ha két viszonylag prím egész számot és írunk fel ebben a formában -zal, akkor az egyenletnek végtelen számú megoldása lesz. Általánosabban, mindig végtelen számú megoldás lesz, ha . Ha , akkor az egyenletnek nincs megoldása. Hogy lássuk, miért, tekintsük az egyenletet. az LHS osztója (vegyük észre azt is, hogy mindig egész számnak kell lennie). Azonban soha nem lesz többszöröse, tehát nem létezik megoldás.

Most nézzük meg azt az esetet, amikor . Tehát . Ha és relatív prímek, akkor minden megoldás nyilvánvalóan alakú minden egész számra . Ha nem azok, akkor egyszerűen elosztjuk őket a legnagyobb közös osztójukkal.

Pythagorasz-hármasok

Fő cikk: Pitagorasz-hármas

A Pitagorasz-hármas olyan három egész számból álló halmaz, amely kielégíti a Pitagorasz-tételt . A Pitagorasz-hármasok megtalálásának három fő módszere van:

Püthagorasz módszere

Ha páratlan szám, akkor egy Pitagorasz-hármas.

Platón módszere

Ha , akkor egy Pitagorasz-hármas.

Babiloni módszer

Minden esetén egy püthagoreus hármas.

Negyedes hatványok összege

Egy alakú egyenletnek nincsenek egészértékű megoldásai, az alábbiak szerint: Feltételezzük, hogy az egyenletnek vannak egészértékű megoldásai, és azt a megoldást tekintjük, amelyik minimalizálja . Legyen ez a megoldás . Ha , akkor a GCD-jük -nek -nek kell megfelelnie. A megoldás ekkor egy -nél kisebb megoldás lenne, ami ellentmond a feltételezésünknek. Így ennek az egyenletnek nincs egész számú megoldása.

Ha , akkor folytassuk az eseti feladatokkal, a -ben.

Megjegyezzük, hogy minden négyzet, tehát minden negyedik hatvány vagy vagy . Ennek bizonyítása meglehetősen egyszerű, és magunk is megmutathatjuk.

1. eset:

Ez azt jelentené, hogy , ami ellentmondás.

2. eset:

Ez -et jelentene, ami ellentmondás, mivel -et feltételeztünk.

3. eset: , és

Azt is tudjuk, hogy a négyzetek vagy vagy . Tehát minden negyedik hatvány vagy vagy .

Hasonló megközelítéssel megmutatjuk, hogy:

, tehát .

Ez ellentmondás, mivel azt jelenti, hogy páratlan, pedig azt, hogy páros. QED

Pell egyenletek

Fő cikk: Pell-egyenlet

A Pell-egyenlet egyfajta alakú diofantikus egyenlet természetes számra . A Pell-egyenlet megoldásai, ha nem tökéletes négyzet, a folytonos törtfejlődéséhez kapcsolódnak. Ha a folytonos tört periódusa és a -ik konvergens, akkor a Pell-egyenlet összes megoldása alakú a pozitív egész számra.

Megoldási módszerek

Koordinátasík

Megjegyezzük, hogy bármely lineáris kombináció átalakítható a lineáris egyenletbe, ami nem más, mint egy egyenes meredekség-intercept egyenlete. A diofantikus egyenlet megoldásai megfelelnek az egyenesre eső rácspontoknak. Vegyük például a vagy egyenletet. Az egyik megoldás (0,1). Ha az egyenest grafikonon ábrázoljuk, könnyen láthatjuk, hogy az egyenes egy rácspontot metsz, ha az x és y az , illetve azonos többszörösével nő vagy csökken (megfogalmazás?). Ezért az egyenlet megoldásait parametrikusan írhatjuk fel (ha -et “kezdőpontnak” tekintjük).

Moduláris aritmetika

Néha a moduláris aritmetikával bebizonyítható, hogy egy adott diofantikus egyenletnek nincs megoldása. Pontosabban, ha megmutatjuk, hogy a kérdéses egyenlet sosem igaz mod , valamilyen egész számra, akkor megmutattuk, hogy az egyenlet hamis. Ez a technika azonban nem használható arra, hogy megmutassuk, hogy egy diofantikus egyenletnek léteznek megoldásai.

Indukció

Néha, amikor már találtunk néhány megoldást, indukciót használhatunk a megoldások családjának megtalálására. Az olyan technikák, mint a végtelen leszállás, azt is megmutathatják, hogy egy adott egyenletnek nem léteznek megoldásai, vagy hogy egy adott családon kívül nem léteznek megoldások.

Általános megoldások

Az a természetes kérdés, hogy létezik-e általános megoldás a diofantikus egyenletekre, azaz létezik-e olyan algoritmus, amely bármely adott diofantikus egyenletre megtalálja a megoldásokat. Ezt Hilbert tizedik problémájaként ismerjük. A válasz azonban nem.

Fermat utolsó tétele

Fő cikk: Fermat utolsó tétele

Fermat utolsó tételeként ismert a feltétel miatt. Az 1600-as években Fermat, miközben egy diofantikus egyenletekről szóló könyvet dolgozott át, a margóra írt egy megjegyzést: “Van egy igazán csodálatos bizonyításom erre a tételre, amelyet ez a margó túl szűk ahhoz, hogy tartalmazzon”. Fermat valójában sok feltevést tett, és rengeteg “tételt” javasolt, de nem volt az a típus, aki a bizonyításokat vagy a firkált megjegyzéseken kívül mást is lejegyzett volna. Halála után minden feltevését újra bebizonyították (akár hamis, akár igaz), kivéve Fermat utolsó tételét. Miután több mint 350 évig nem sikerült bebizonyítani, a tételt végül Andrew Wiles bizonyította be, miután több mint 7 évig dolgozott a 200 oldalas bizonyításon, és még egy évig javította az eredeti bizonyításban lévő hibát.

Problémák

Előszó

Két farmer egyetért abban, hogy a disznók dollárt, a kecskék pedig dollárt érnek. Ha az egyik gazda tartozik a másiknak, akkor a tartozást disznókban vagy kecskékben fizeti ki, a “visszajárót” pedig szükség szerint kecskék vagy disznók formájában kapja meg. (Például egy dolláros tartozást két disznóval lehet kifizetni, és egy kecskét kapnak visszajáróként). Mekkora a legkisebb pozitív adósság összege, amely ilyen módon megoldható?

(Forrás)

Közepes

Legyen egy olyan egész számú együtthatóval rendelkező polinom, amely kielégíti a és feltételeket Adott, hogy két különböző egész számú megoldása van és találjuk meg a szorzatát. (Forrás)