A mátrix sorain 3 alapvető műveletet használunk, amikor a mátrixot lineáris egyenletrendszer megoldására használjuk. A cél általában az, hogy a mátrix bal oldali része úgy nézzen ki, mint az azonossági mátrix .
A három művelet a következő :
- Sorok cseréje
- Sorok szorzása egy számmal
- Sorok összeadása
Sorok cseréje
Egy mátrix sorainak cseréjével egy új mátrixot kaphatunk.
→
A fenti példában az 1. sort áthelyezzük a 2. sorba , a 2. sort a 3. sorba , a 3. sort pedig az 1. sorba . (Ennek az az oka, hogy a bal felső sarokban egy 1-est kapjunk.)
Egy sor szorzása egy számmal
Bármelyik sort megszorozhatjuk egy számmal. (Ez azt jelenti, hogy a sor minden bejegyzését megszorozzuk ugyanazzal a számmal.)
→ R 3 : 1 3 R 3
Ebben a példában a mátrix 3. sorát megszoroztuk 1 3-mal. (Így megkapjuk a 3. sorban , 3. oszlopban szükséges 1-et.)
Sorok összeadása
Két sort össze is adhatunk, és az eredményt egy sorra cserélhetjük.
Például az előző példában kapott mátrixban a 2. és a 3. sort összeadhatjuk, bejegyzésről bejegyzésre:
+ _
Ezután a 2. sort kicseréljük az eredménnyel.
→ R 2 : R 2 + R 3
Sorok többszörösének összeadása
Azt mondtuk, hogy csak három művelet van, és ez így is van. De az utolsó két művelet kombinációjával egész sorok többszörösét adhatjuk hozzá más sorokhoz, hogy gyorsabban menjen a dolog.
Lépjünk vissza egy lépést, így megvan a mátrix:
Most ahelyett, hogy csak a 2. sort + 3. sort adnánk össze, adjuk össze a 2. sort + ( 2 × 3. sor ) :
+ _
Ezután cseréljük ki a 2. sort az eredményre.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
Így a 2. sorban , 3. oszlopban 0-t kapunk.
Ezt megismételhetjük, hogy 0-t kapjunk a 2. sorban , 1. oszlopban . Itt megszorozzuk az 1. sort – 2-vel , hozzáadjuk a 2. sorhoz , és a 2. sort helyettesítjük az eredménnyel.
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
Mutassunk még néhány lépést, hogy megkapjuk a bal oldali 3 × 3 azonossági mátrixot (és így megoldjuk a rendszert).
A következő lépés a 2. sor + ( 4 × 3. sor ) összeadása, hogy 0-t kapjunk a 2. sorban , 3. oszlopban .
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
Ezután szükségünk van egy nullára az 1. sorban , 3. oszlopban .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
Az utolsó lépés csak a második művelet alkalmazása, egy sor szorzása egy számmal.
→ 1 3 R 3
Most már a megoldás rendezett hármas ( 1 , 0 , – 2 ) .
Fontos megjegyzés: Ha az eredeti mátrix által reprezentált egyenletek azonos vagy párhuzamos sorokat ábrázolnak, akkor ezekkel a sorműveletekkel nem fogjuk tudni megkapni az azonossági mátrixot. Ebben az esetben a megoldás vagy nem létezik, vagy a rendszernek végtelen sok megoldása van.