A matematikai értelemben vett gyűrű egy 
halmaz, valamint két bináris operátor 
és 
(általában összeadásként, illetve szorzásként értelmezve), amelyek kielégítik a következő feltételeket:
1. Additív asszociativitás: Minden 
, 
,
2. Additív kommutativitás: Minden 
, 
,
3. Additív azonosság: Létezik olyan 
elem, hogy minden 
, 
,
4. Additív inverz: Minden 
-ra létezik olyan 
, hogy 
,
5. Bal és jobb oldali disztributivitás: Minden 
, 
és 
esetén
6. Multiplikatív asszociativitás: Minden 
, 
esetén (az ezt a tulajdonságot kielégítő gyűrűt néha kifejezetten asszociatív gyűrűnek nevezik).
Az 1-5. feltételekre mindig szükség van. Bár léteznek nem asszociatív gyűrűk is, gyakorlatilag minden szöveg megköveteli a 6. feltételt is (Itô 1986, 1369-1372. o.; 418. o.; Zwillinger 1995, 141-143. o.; Harris és Stocker 1998; Knuth 1998; Korn és Korn 2000; Bronshtein és Semendyayev 2004).
A gyűrűk különböző opcionális feltételeknek is megfelelhetnek:
7. Multiplikatív kommutativitás: Minden 
, 
esetén (az ezt a tulajdonságot kielégítő gyűrűt kommutatív gyűrűnek nevezzük),
8. Multiplikatív azonosság: Az összes 
, 
(az ezt a tulajdonságot kielégítő gyűrűt egységgyűrűnek, vagy néha “azonossággal rendelkező gyűrűnek” is nevezik),
9. Multiplikatív inverz: Minden 
-hez létezik egy olyan 
elem, hogy minden 
, 
, ahol 1 az azonossági elem.
Az összes további 6-9. tulajdonságot kielégítő gyűrűt mezőnek, míg a csak a 6., 8. és 9. további tulajdonságot kielégítő gyűrűt osztóalgebrának (vagy ferde mezőnek) nevezzük.
Néhány szerző eltér a szokásos konvenciótól, és megköveteli (definíciójuk szerint), hogy egy gyűrű további tulajdonságokat is tartalmazzon. Birkhoff és Mac Lane (1996) például úgy definiálnak egy gyűrűt, hogy az rendelkezzen multiplikatív azonossággal (azaz a 8. tulajdonsággal).
Itt van néhány példa olyan gyűrűkre, amelyekből hiányoznak bizonyos feltételek:
1. Multiplikatív asszociativitás nélkül (néha nem asszociatív algebráknak is nevezik): oktonionok, OEIS A037292,
2. Multiplikatív kommutativitás nélkül: Valós értékű 
mátrixok, kvaternionok,
3. Multiplikatív azonosság nélkül: Páros értékű egész számok,
4. Multiplikatív inverz nélkül: Egész számok.
A gyűrű szó a német Zahlring (számgyűrű) szó rövidítése. A gyűrű francia szava anneau, a modern német szó pedig Ring, mindkettő jelentése (nem túl meglepő módon) “gyűrű”. Fraenkel (1914) adta meg a gyűrű első absztrakt definícióját, bár ennek a munkának nem volt nagy hatása. A kifejezést Hilbert vezette be az olyan gyűrűk leírására, mint
Az új elem 
egymás utáni szorzásával végül körbefordul, hogy valami már keletkezett, valami gyűrűhöz hasonló legyen, vagyis 
új, de 
egy egész szám. Minden algebrai számnak megvan ez a tulajdonsága, pl. 
kielégíti 
.
Egy gyűrűnek legalább egy elemet kell tartalmaznia, de nem kell tartalmaznia multiplikatív azonosságot, és nem kell kommutatívnak lennie. A 
elemű véges gyűrűk száma 
, 2, …, esetén 1, 2, 2, 2, 11, 2, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 4, …, … (OEIS A027623 és A037234; Fletcher 1980). Ha 
és 
prím, akkor két 
méretű gyűrű, négy 
méretű gyűrű, 11 
méretű gyűrű (Singmaster 1964, Drezda), 22 
méretű gyűrű, 52 
méretű gyűrű 
esetén, és 53 
méretű gyűrű 
esetén (Ballieu 1947, Gilmer és Mott 1973; Drezda).
Egy olyan gyűrűt, amely szorzás alatt kommutatív, egységelemmel rendelkezik, és nincs nulla osztója, integrál tartománynak nevezünk. Azt a gyűrűt, amelynek nem nulla elemei kommutatív szorzatú szorzatcsoportot alkotnak, mezőnek nevezzük. A legegyszerűbb gyűrűk az egész számok 
, az egy- és kétváltozós 
és 
polinomok, valamint a négyzetes 
valós mátrixok.
A vizsgált és érdekesnek talált gyűrűket általában egy vagy több vizsgálójukról nevezik el. Ez a gyakorlat sajnos olyan nevekhez vezet, amelyek nagyon kevés betekintést engednek a kapcsolódó gyűrűk releváns tulajdonságaiba.
Renteln és Dundes (2005) a következő (rossz) matematikai viccet adja a gyűrűkről:
K: Mi egy abéli csoport összeadás alatt, zárt,asszociatív, disztributív, és hordoz egy átkot? V: A Nibelung gyűrűje.