Az 1 + 2 + 4 + 4 + 8 + ⋯ részösszegek 1, 3, 7, 15, …; mivel ezek a végtelenbe térnek el, így a sorozat is.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\displaystyle 2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Ezért minden teljesen szabályos összegzési módszer a végtelenbe ad összeget, így a Cesàro-összeg és az Abel-összeg is. Van viszont legalább egy általánosan használható módszer, amely 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ -1 véges értékre összegez. A kapcsolódó hatványsor
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}}
konvergenciasugara 0 körül csak 1/2, tehát x = 1-nél nem konvergál. Ennek ellenére az így definiált f függvénynek van egy egyedi analitikus folytatása a komplex síkra az x = 1/2 pont törlésével, és ugyanez a szabály f(x) = 1/1 – 2x. Mivel f(1) = -1, az eredeti 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ sorozatot -1-ig összegezhetőnek (E) mondjuk, és -1 a sorozat (E) összege. (A jelölés G. H. Hardynak köszönhető, Leonhard Euler divergens sorozatokkal kapcsolatos megközelítése kapcsán).
Egy majdnem azonos megközelítés (amit maga Euler is alkalmazott), ha olyan hatványsorokat tekintünk, amelyeknek minden együtthatója 1, azaz.e.
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}}
és bedugva y = 2. Ez a két sorozat az y = 2x helyettesítéssel kapcsolódik egymáshoz.
Az, hogy az (E) összegzés véges értéket rendel az 1 + 2 + 4 + 8 + … értékhez, azt mutatja, hogy az általános módszer nem teljesen szabályos. Másrészt viszont rendelkezik néhány más, egy összegzési módszer számára kívánatos tulajdonsággal, többek között stabilitással és linearitással. Ez utóbbi két axióma tulajdonképpen kikényszeríti, hogy az összeg -1 legyen, mivel érvényessé teszik a következő manipulációt:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}}
Hasznos értelemben s = ∞ az s = 1 + 2s egyenlet egyik gyöke. (Például ∞ a Möbius-transzformáció z → 1 + 2z két fixpontjának egyike a Riemann-gömbön). Ha valamilyen összegzési módszerről ismert, hogy s-re egy közönséges számot ad vissza, azaz nem ∞-et, akkor az könnyen meghatározható. Ebben az esetben s kivonható az egyenlet mindkét oldalából, így 0 = 1 + s, tehát s = -1.
A fenti manipulációt egy kellően erős összegzési eljáráson kívül is fel lehet hívni -1 előállítására. A legismertebb és legegyszerűbb összegfogalmak esetében, beleértve az alapvető konvergens fogalmat is, abszurd, hogy egy pozitív tagokból álló sorozatnak negatív értéke lehet. Hasonló jelenség fordul elő az 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯ divergens geometriai sorozatnál, ahol egy egész számokból álló sorozatnak látszólag nem egész számú összege 1/2. Ezek a példák szemléltetik a potenciális veszélyt, ha hasonló érveket alkalmazunk az olyan ismétlődő tizedesjegyek sorozataira, mint a 0,111… és leginkább a 0,999….. Az érvek végül is megalapozottak ezekre a konvergens sorozatokra, amelyek azt sugallják, hogy 0,111… = 1/9 és 0,999… = 1, de a mögöttes bizonyítások gondos gondolkodást igényelnek a végtelen összegek értelmezésével kapcsolatban.
Ezt a sorozatot a valós számoktól eltérő számrendszerben, nevezetesen a 2-adikus számokban is konvergensnek tekinthetjük. 2-adikus számok sorozataként ez a sorozat ugyanahhoz az összeghez, -1-hez konvergál, mint amit fentebb analitikus folytatással levezettünk.