Para una demostración completa, véase el artículo de reciprocidad (electromagnetismo). Aquí presentamos una prueba sencilla común limitada a la aproximación de dos antenas separadas por una distancia grande comparada con el tamaño de la antena, en un medio homogéneo. La primera antena es la antena de prueba cuyos patrones se van a investigar; esta antena es libre de apuntar en cualquier dirección. La segunda antena es una antena de referencia, que apunta rígidamente a la primera antena.
Cada antena está conectada alternativamente a un transmisor que tiene una impedancia de fuente particular, y a un receptor que tiene la misma impedancia de entrada (la impedancia puede diferir entre las dos antenas).
Se supone que las dos antenas están lo suficientemente separadas como para que las propiedades de la antena transmisora no se vean afectadas por la carga colocada sobre ella por la antena receptora. En consecuencia, la cantidad de potencia transferida del transmisor al receptor puede expresarse como el producto de dos factores independientes; uno que depende de las propiedades direccionales de la antena transmisora, y el otro que depende de las propiedades direccionales de la antena receptora.
Para la antena transmisora, por la definición de ganancia, G
, la densidad de potencia de radiación a una distancia r {\displaystyle r}
de la antena (es decir, la potencia que pasa por unidad de superficie) es W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\displaystyle \mathrm {W} (\theta ,\Phi )={frac {\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}P_{t}
.
Aquí, los ángulos θ {\displaystyle \theta }
y Φ {\displaystyle \Phi }
indican una dependencia de la dirección desde la antena, y P t {\displaystyle P_{t}}
representa la potencia que el transmisor entregaría a una carga adaptada. La ganancia G {\displaystyle G}
puede desglosarse en tres factores: la ganancia de la antena (la redistribución direccional de la potencia), la eficacia de la radiación (que tiene en cuenta las pérdidas óhmicas de la antena) y, por último, la pérdida debida a la desadaptación entre la antena y el transmisor. Estrictamente, para incluir el desajuste, debería llamarse ganancia realizada, pero no es el uso común.
Para la antena receptora, la potencia entregada al receptor es
P r = A ( θ , Φ ) W {\displaystyle P_{r}=\mathrm {A} (\theta ,\Phi )W\N-
.
Aquí W {\displaystyle W}
es la densidad de potencia de la radiación incidente, y A {\displaystyle A}
es la apertura de la antena o el área efectiva de la antena (el área que la antena tendría que ocupar para interceptar la potencia capturada observada). Los argumentos direccionales son ahora relativos a la antena receptora, y de nuevo A
se toma para incluir las pérdidas óhmicas y de desajuste.
Juntando estas expresiones, la potencia transferida del transmisor al receptor es
P r = A G 4 π r 2 P t {\displaystyle P_{r}=A{\frac {G}{4\pi r^{2}}P_{t}
,
donde G {\displaystyle G}
y A {\displaystyle A}
son propiedades dependientes de la dirección de las antenas transmisora y receptora respectivamente. Para la transmisión desde la antena de referencia (2), a la antena de prueba (1), es decir, P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi ){\frac {G_{2}}{4\pi r^{2}}P_{2t}
,
y para la transmisión en sentido contrario
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {\displaystyle P_{2r}=A_{2}{frac {\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}P_{1t}
.
Aquí, la ganancia G 2 {\displaystyle G_{2}}
y el área efectiva A 2 {\displaystyle A_{2}}
de la antena 2 son fijas, porque la orientación de esta antena es fija con respecto a la primera.
Ahora bien, para una disposición dada de las antenas, el teorema de reciprocidad exige que la transferencia de potencia sea igualmente eficaz en cada dirección, es decir,
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {\displaystyle {\frac {P_{1r}}{P_{2t}}={\frac {P_{2r}}{P_{1t}}}}
,
por lo que
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi )} {\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}={\frac {A_{2}}{G_{2}}}}
.
Pero el lado derecho de esta ecuación es fijo (porque la orientación de la antena 2 es fija), y así
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t e {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi )} {{mathrm_G_{1}} (\theta ,\Phi )}}=constante }
,
es decir, la dependencia direccional de la apertura efectiva (de recepción) y la ganancia (de transmisión) son idénticas (QED). Además, la constante de proporcionalidad es la misma independientemente de la naturaleza de la antena, por lo que debe ser la misma para todas las antenas. El análisis de una antena particular (como un dipolo hertziano), muestra que esta constante es λ 2 4 π {\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}
, donde λ {\displaystyle \lambda }
es la longitud de onda del espacio libre. Por lo tanto, para cualquier antena la ganancia y la apertura efectiva están relacionadas por A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {\displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )= {\frac {\lambda ^{2}\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi }}
.
Incluso para una antena receptora, es más habitual indicar la ganancia que especificar la apertura efectiva. Por lo tanto, la potencia entregada al receptor se escribe más habitualmente como
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {\displaystyle P_{r}={frac {\lambda ^{2}G_{r}G_{t}}(4\pi r)^{2}}P_{t}}.
(ver presupuesto del enlace). Sin embargo, la apertura efectiva es interesante para compararla con el tamaño físico real de la antena.
Consecuencias prácticasEditar
- Cuando se determina el diagrama de una antena receptora mediante simulación por ordenador, no es necesario realizar un cálculo para cada ángulo de incidencia posible. En su lugar, el diagrama de radiación de la antena se determina mediante una única simulación, y el diagrama de recepción se infiere por reciprocidad.
- Cuando se determina el diagrama de una antena por medición, la antena puede ser de recepción o de transmisión, lo que sea más conveniente.
- Para una antena práctica, el nivel de lóbulos laterales debe ser mínimo, es necesario tener la máxima directividad.