Arte de resolver problemas

Una ecuación diofantina es una ecuación que relaciona cuantificadores de números enteros (o a veces de números naturales o enteros).

La búsqueda de la solución o soluciones de una ecuación diofantina está estrechamente ligada a la aritmética modular y a la teoría de números. A menudo, cuando una ecuación diofantina tiene infinitas soluciones, se utiliza la forma paramétrica para expresar la relación entre las variables de la ecuación.

Las ecuaciones diofantinas reciben su nombre del antiguo matemático griego/alejandrino Diophantus.

Combinación lineal

Una ecuación diofantina de la forma se conoce como combinación lineal. Si dos enteros relativamente primos y se escriben en esta forma con , la ecuación tendrá un número infinito de soluciones. Más generalmente, siempre habrá un número infinito de soluciones cuando . Si , entonces no hay soluciones a la ecuación. Para ver por qué, considere la ecuación . es un divisor del LHS (observe también que debe ser siempre un número entero). Sin embargo, nunca será un múltiplo de , por lo tanto, no existen soluciones.

Consideremos ahora el caso en el que . Por lo tanto, . Si y son relativamente primos, entonces todas las soluciones son obviamente de la forma para todos los enteros . Si no lo son, simplemente las dividimos por su máximo común divisor.

Triples pitagóricos

Artículo principal: Triple de Pitágoras

Un triple de Pitágoras es un conjunto de tres enteros que satisfacen el Teorema de Pitágoras, . Hay tres métodos principales para encontrar triples pitagóricos:

Método de Pitágoras

Si es un número impar, entonces es un triple pitagórico.

Método de Platón

Si , es un triple pitagórico.

Método de Platón

Para cualquier , tenemos que es un triple pitagórico.

Suma de cuartas potencias

Una ecuación de la forma no tiene soluciones enteras, como sigue:Suponemos que la ecuación sí tiene soluciones enteras, y consideramos la solución que minimiza . Sea esta solución . Si entonces su GCD debe satsificar . La solución sería entonces una solución menor que , lo que contradice nuestra suposición. Por lo tanto, esta ecuación no tiene soluciones enteras.

Si , entonces procedemos con la casuística, en .

Nótese que cada cuadrado, y por tanto cada cuarta potencia, es o bien o bien . La prueba de esto es bastante sencilla, y puedes demostrarlo tú mismo.

Caso 1:

Esto implicaría , una contradicción.

Caso 2:

Esto implicaría , una contradicción ya que asumimos .

Caso 3: , y

También sabemos que los cuadrados son o . Por lo tanto, todas las cuartas potencias son o bien o bien .

Por un enfoque similar, demostramos que:

, por lo que .

Esto es una contradicción, ya que implica que es impar, y implica que es par. QED

Ecuaciones de Pell

Artículo principal: Ecuación de Pell

Una ecuación de Pell es un tipo de ecuación diofantina de la forma para el número natural . Las soluciones de la ecuación de Pell cuando no es un cuadrado perfecto están relacionadas con la expansión de fracción continua de . Si es el periodo de la fracción continuada y es el ésimo convergente, todas las soluciones de la ecuación de Pell son de la forma para el entero positivo .

Métodos de resolución

Plano de coordenadas

Nótese que cualquier combinación lineal puede transformarse en la ecuación lineal , que no es más que la ecuación pendiente-intercepto de una recta. Las soluciones de la ecuación diofántica corresponden a los puntos de la red que se encuentran en la línea. Por ejemplo, consideremos la ecuación o . Una solución es (0,1). Si se representa gráficamente la recta, es fácil ver que la recta corta un punto de retícula cuando x e y aumentan o disminuyen en el mismo múltiplo de y , respectivamente (¿enunciado?). Por lo tanto, las soluciones de la ecuación se puede escribir paramétricamente (si pensamos en como un «punto de partida»).

Aritmética modular

A veces, la aritmética modular se puede utilizar para demostrar que no existen soluciones a una ecuación diofantina dada. En concreto, si demostramos que la ecuación en cuestión nunca es verdadera mod , para algún entero , entonces hemos demostrado que la ecuación es falsa. Sin embargo, esta técnica no puede utilizarse para demostrar que las soluciones de una ecuación diofantina existen.

Inducción

A veces, cuando se han encontrado unas pocas soluciones, se puede utilizar la inducción para encontrar una familia de soluciones. Técnicas como el Descenso infinito también pueden mostrar que no existen soluciones para una ecuación particular, o que no existen soluciones fuera de una familia particular.

Soluciones generales

Es natural preguntarse si existe una solución general para las ecuaciones diofantinas, es decir, un algoritmo que encuentre las soluciones para cualquier ecuación diofantina dada. Esto se conoce como el décimo problema de Hilbert. La respuesta, sin embargo, es no.

Último Teorema de Fermat

Artículo principal: El último teorema de Fermat

es conocido como el último teorema de Fermat por la condición . En la década de 1600, Fermat, mientras trabajaba en un libro sobre Ecuaciones Diofantinas, escribió un comentario en los márgenes del siguiente modo: «Tengo una prueba verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener.» En realidad, Fermat hizo muchas conjeturas y propuso un montón de «teoremas», pero no era de los que escribían las pruebas o mucho más que comentarios garabateados. Después de su muerte, todas sus conjeturas se volvieron a demostrar (falsas o verdaderas), excepto el último teorema de Fermat. Después de más de 350 años de no ser demostrado, el teorema fue finalmente demostrado por Andrew Wiles después de pasar más de 7 años trabajando en la prueba de 200 páginas, y otro año arreglando un error en la prueba original.

Problemas

Introducción

Dos granjeros están de acuerdo en que los cerdos valen dólares y que las cabras valen dólares. Cuando un granjero le debe dinero al otro, le paga la deuda en cerdos o cabras, recibiendo el «cambio» en forma de cabras o cerdos según sea necesario. (Por ejemplo, una deuda de dólares podría pagarse con dos cerdos, recibiendo una cabra como cambio). ¿Cuál es la cantidad de la deuda positiva más pequeña que se puede resolver de esta manera?