Hay 3 operaciones básicas utilizadas en las filas de una matriz cuando se utiliza la matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales . El objetivo suele ser conseguir que la parte izquierda de la matriz se parezca a la matriz identidad .
Las tres operaciones son:
- Cambiar filas
- Multiplicar una fila por un número
- Sumar filas
Cambiar filas
Se pueden cambiar las filas de una matriz para obtener una nueva matriz.
→
En el ejemplo mostrado arriba, movemos la fila 1 a la fila 2 , la fila 2 a la fila 3 , y la fila 3 a la fila 1 . (La razón para hacer esto es obtener un 1 en la esquina superior izquierda.)
Multiplicar una fila por un número
Puede multiplicar cualquier fila por un número. (Esto significa multiplicar cada entrada de la fila por el mismo número.)
→ R 3 : 1 3 R 3
En este ejemplo, hemos multiplicado la fila 3 de la matriz por 1 3 . (Esto nos da el 1 que necesitamos en la Fila 3 , Columna 3 .)
Sumando Filas
También se pueden sumar dos filas, y sustituir una fila por el resultado.
Por ejemplo, en la matriz que resultó en el último ejemplo, podemos sumar las filas 2 y 3, entrada por entrada:
+ _
Luego, sustituimos la fila 2 por el resultado.
→ R 2 : R 2 + R 3
Sumar múltiplos de filas
Dijimos que sólo había tres operaciones, y las hay. Pero usando las dos últimas operaciones en combinación, podemos añadir múltiplos enteros de filas a otras filas, para que las cosas vayan más rápido.
Retrocede un paso, así tenemos la matriz:
Ahora, en lugar de simplemente sumar la Fila 2 + la Fila 3 , sumamos la Fila 2 + ( 2 × la Fila 3 ) :
+ _
Luego reemplazamos la Fila 2 con el resultado.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
De esta manera, obtenemos un 0 en la Fila 2 , Columna 3 .
Podemos hacer esto de nuevo para obtener un 0 en la Fila 2 , Columna 1 . Aquí, multiplicamos la Fila 1 por – 2 , la sumamos a la Fila 2 , y reemplazamos la Fila 2 con el resultado.
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
Mostraremos algunos pasos más, para obtener la matriz identidad 3 × 3 de la izquierda (y así resolver el sistema).
El siguiente paso es sumar la Fila 2 + ( 4 × Fila 3 ) para obtener un 0 en la Fila 2 , Columna 3 .
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
A continuación, necesitamos un cero en la Fila 1 , Columna 3 .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
El último paso es sólo una aplicación de la segunda operación, multiplicar una fila por un número.
→ 1 3 R 3
Ahora tenemos la solución como triple ordenada ( 1 , 0 , – 2 ) .
Nota importante: Si las ecuaciones representadas por su matriz original representan líneas idénticas o paralelas, no podrá obtener la matriz identidad utilizando estas operaciones de fila. En este caso, la solución no existe o hay infinitas soluciones al sistema.