Leibniz

7.8.1 La elasticidad de la demanda

La elasticidad precio de la demanda mide la sensibilidad de la cantidad demandada al precio: nos dice el porcentaje de cambio en la cantidad demandada cuando el precio cambia un 1%. En este Leibniz, definimos la elasticidad utilizando el cálculo, y mostramos cómo las decisiones de precios de una empresa dependen de la elasticidad de la demanda a la que se enfrenta.

Hay dos formas de escribir una función de demanda. Anteriormente hemos descrito la demanda de Beautiful Cars utilizando la función de demanda inversa:

donde es el precio al que la empresa puede vender exactamente coches. Para definir la elasticidad es más conveniente escribir la función de demanda en su forma directa:

es la cantidad de Coches Bonitos demandada si el precio es . (La función es la función inversa de ; matemáticamente, podemos escribir .)

La derivada de la función de demanda es . Esta es una forma de medir cuánto cambia la demanda de los consumidores en respuesta a un cambio en el precio. Pero no es una medida muy útil, ya que depende de las unidades en las que se miden y. Por ejemplo, obtendríamos una respuesta diferente si el precio estuviera en euros, en lugar de en dólares.

En su lugar, definimos la elasticidad precio de la demanda en el texto como:

Esta es una medida más útil de la capacidad de respuesta de la demanda al precio. Se puede ver en la definición que es independiente de las unidades de medida. Pero está estrechamente relacionada con la derivada -para ver esto, suponga que el precio cambia de a , haciendo que la cantidad demandada cambie de a . El cambio porcentual en el precio es , y el cambio porcentual en la cantidad es . Sustituyendo esto en la expresión de la elasticidad, obtenemos:

Tomando el límite de esta expresión como nos da la definición de cálculo de la elasticidad precio de la demanda, que denotamos por como en el texto:

Y como , la elasticidad también puede escribirse como:

Nótese que el valor de la elasticidad es normalmente positivo, ya que según la Ley de la Demanda, la derivada de la función de demanda será negativa.

Cuando se define así, utilizando el cálculo, es sólo aproximadamente lo mismo que nuestra definición original de la elasticidad como el porcentaje de caída de la cantidad demandada cuando el precio sube un 1%. Pero en el supuesto razonable de que el 1% es una cantidad pequeña, es una aproximación cercana, y a menudo la interpretamos así.

Consideremos la función de demanda:

Aquí,

En este caso particular, la elasticidad de la demanda es constante- es igual a en todos los puntos de la curva de demanda.

En general, las elasticidades no son constantes. Varían a medida que nos movemos a lo largo de la curva de demanda. Pero el ejemplo anterior ilustra un caso especial. Si la forma de la función de demanda es , donde y son constantes positivas, la elasticidad de la demanda es . Esta es la única clase de funciones de demanda para la que la elasticidad es constante.

Expresando la elasticidad en términos de cantidad

Otra expresión para la elasticidad de la demanda puede obtenerse volviendo a la función inversa de la demanda . Por la regla de la función inversa,

así que

Un segundo ejemplo: supongamos que Beautiful Cars se enfrenta a la función de demanda inversa

como en la figura 7.15 del texto. Utilizando la expresión anterior, la elasticidad de la demanda es:

Alternativamente, podemos expresar la elasticidad en términos de precio: , por lo que

Cada una de las dos expresiones para muestra que cae a medida que nos movemos hacia la derecha a lo largo de la curva de demanda, aumentando y reduciendo . Esto es así para toda función de demanda lineal, como es el resultado de que se acerca a medida que se acerca y se acerca a su valor máximo, donde . Así, si Beautiful Cars vende sólo dos coches al día a un precio de 7.840 dólares, la elasticidad de la demanda es 49; mientras que si la empresa vende 95 coches al día cobrando sólo 400 dólares por coche, con tres decimales.

Elasticidad e ingreso marginal

Vimos en Leibniz 7.6.1 que si la función de demanda inversa de Beautiful Cars es , su función de ingresos es

y que el ingreso marginal (IM) se define como sigue:

Escribiendo esta expresión mediante la fórmula y utilizando el hecho de que , vemos que existe una relación entre el ingreso marginal y la elasticidad de la demanda:

Esto implica que el ingreso marginal será positivo si , negativo si .

Como se señaló en el texto, se dice que la demanda es elástica si , inelástica si . El segundo ejemplo muestra que la demanda puede ser elástica e inelástica en diferentes puntos de la misma curva de demanda. Lo que acabamos de demostrar es que el ingreso marginal es positivo si, y sólo si, la empresa opera en la parte de la curva de demanda en la que la demanda es elástica. En particular, esto será así si la empresa maximiza su beneficio y, por tanto, elige su producción para igualar el ingreso marginal y el coste marginal, ya que el coste marginal es positivo.

El margen de beneficio

Recordemos de Leibniz 7.6.1 que la condición de primer orden para la maximización del beneficio es , donde es el coste marginal. Usando la fórmula para el ingreso marginal que acabamos de derivar, podemos escribir la condición de primer orden de la siguiente manera:

Regulando,

El lado izquierdo de esta ecuación es el margen comercial de la empresa, es decir, el margen de beneficio como proporción del precio. La ecuación nos dice que el margen de beneficio (en el punto de maximización del beneficio) será mayor cuanto menor sea la elasticidad de la demanda. Por ejemplo, si la elasticidad de la demanda está en el punto óptimo, hay un margen de beneficio de , mientras que una elasticidad de la demanda de significa que el margen de beneficio es de , por lo que la empresa fijará su precio en cinco veces el coste marginal. La relación inversa entre el margen de beneficio y la elasticidad precio de la demanda se ilustra en las figuras 7.16 y 7.17 del texto, reproducidas a continuación como figura 1.

La elasticidad en general

La elasticidad es un concepto matemático general, aunque por lo que sabemos, sólo lo utilizan los economistas. Supongamos que tenemos una función diferenciable , donde y toman sólo valores positivos. La elasticidad de con respecto a puede definirse como:

Es el límite de la relación

a medida que el denominador se acerca a cero. Una alternativa, que utilizamos en el caso de la elasticidad precio de la demanda, es definir la elasticidad como el valor absoluto de este límite.

Leer más: Apartados 6.4 y 7.4 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Matemáticas para economistas: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.