Un anillo en sentido matemático es un conjunto 
junto con dos operadores binarios 
y 
(comúnmente interpretados como suma y multiplicación, respectivamente) que satisfacen las siguientes condiciones:
1. Asociatividad aditiva: Para todo 
, 
,
2. Conmutatividad aditiva: Para todo 
, 
,
3. Identidad aditiva: Existe un elemento 
tal que para todo 
, 
,
4. Inversa aditiva: Para todo 
existe 
tal que 
,
5. Distributividad izquierda y derecha: Para todo 
, 
y 
,
6. Asociatividad multiplicativa: Para todos los 
, 
(un anillo que satisface esta propiedad se denomina a veces explícitamente anillo asociativo).
Las condiciones 1-5 son siempre necesarias. Aunque existen anillos no asociativos, prácticamente todos los textos requieren también la condición 6 (Itô 1986, pp. 1369-1372; p. 418; Zwillinger 1995, pp. 141-143; Harris y Stocker 1998; Knuth 1998; Korn y Korn 2000; Bronshtein y Semendyayev 2004).
Los anillos también pueden satisfacer varias condiciones opcionales:
7. Conmutatividad multiplicativa: Para todo 
, 
(un anillo que satisface esta propiedad se denomina anillo conmutativo),
8. Identidad multiplicativa: Existe un elemento 
tal que para todo 
, 
(un anillo que satisface esta propiedad se denomina anillo unitario, o a veces «anillo con identidad»),
9. Inverso multiplicativo: Para cada 
en 
, existe un elemento 
tal que para todo 
, 
, donde 1 es el elemento identidad.
Un anillo que satisface todas las propiedades adicionales 6-9 se llama campo, mientras que uno que satisface sólo las propiedades adicionales 6, 8 y 9 se llama álgebra de división (o campo sesgado).
Algunos autores se apartan de la convención normal y requieren (bajo su definición) que un anillo incluya propiedades adicionales. Por ejemplo, Birkhoff y Mac Lane (1996) definen un anillo para que tenga una identidad multiplicativa (es decir, la propiedad 8).
Aquí hay una serie de ejemplos de anillos que carecen de condiciones particulares:
1. Sin asociatividad multiplicativa (a veces también llamadas álgebras no asociativas): octoniones, OEIS A037292,
2. Sin conmutatividad multiplicativa: Matrices de valor real 
, cuaterniones,
3. Sin identidad multiplicativa: Enteros pares,
4. Sin inversa multiplicativa: enteros.
La palabra anillo es la abreviatura de la palabra alemana ‘Zahlring’ (anillo de números). La palabra francesa para un anillo es anneau, y la palabra alemana moderna es Ring, ambas significan (no tan sorprendentemente) «anillo». Fraenkel (1914) dio la primera definición abstracta del anillo, aunque este trabajo no tuvo mucha repercusión. El término fue introducido por Hilbert para describir anillos como
Al multiplicar sucesivamente el nuevo elemento 
, acaba por dar la vuelta para convertirse en algo ya generado, algo parecido a un anillo, es decir, 
es nuevo pero 
es un número entero. Todos los números algebraicos tienen esta propiedad, por ejemplo, 
satisface 
.
Un anillo debe contener al menos un elemento, pero no necesita contener una identidad multiplicativa o ser conmutativo. El número de anillos finitos de 
elementos para 
, 2, …, son 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, … (OEIS A027623 y A037234; Fletcher 1980). Si 
y 
son primos, hay dos anillos de tamaño 
, cuatro anillos de tamaño 
, 11 anillos de tamaño 
(Singmaster 1964, Dresden), 22 anillos de tamaño 
, 52 anillos de tamaño 
para 
, y 53 anillos de tamaño 
para 
(Ballieu 1947, Gilmer y Mott 1973; Dresden).
Un anillo que es conmutativo bajo la multiplicación, tiene un elemento unitario, y no tiene divisores de cero se llama un dominio integral. Un anillo cuyos elementos no nulos forman un grupo de multiplicación conmutativo se llama campo. Los anillos más sencillos son los enteros 
, los polinomios 
y 
en una y dos variables, y las matrices reales cuadradas 
.
Los anillos que se han investigado y han resultado interesantes suelen llevar el nombre de uno o varios de sus investigadores. Esta práctica, desafortunadamente, conduce a nombres que dan muy poca información sobre las propiedades relevantes de los anillos asociados.
Renteln y Dundes (2005) dan el siguiente (mal) chiste matemático sobre anillos:
P: ¿Qué es un grupo abeliano bajo adición, cerrado, asociativo, distributivo, y lleva una maldición? R: El anillo del Nibelungo.