Análisis de regresión de Poisson con SPSS Statistics

Introducción

La regresión de Poisson se utiliza para predecir una variable dependiente que consiste en «datos de recuento» dada una o más variables independientes. La variable que queremos predecir se llama variable dependiente (o a veces variable de respuesta, resultado, objetivo o criterio). Las variables que utilizamos para predecir el valor de la variable dependiente se denominan variables independientes (o a veces variables predictoras, explicativas o regresoras). A continuación se describen algunos ejemplos en los que se podría utilizar la regresión de Poisson:

• Ejemplo 1: Se podría utilizar la regresión de Poisson para examinar el número de alumnos suspendidos por las escuelas de Washington en Estados Unidos en función de predictores como el género (chicas y chicos), la raza (blancos, negros, hispanos, asiáticos/isleños del Pacífico e indios americanos/nativos de Alaska), el idioma (el inglés es su primera lengua, el inglés no es su primera lengua) y el estado de discapacidad (discapacitados y no discapacitados). Aquí, el «número de suspensiones» es la variable dependiente, mientras que el «género», la «raza», el «idioma» y el «estado de discapacidad» son variables independientes nominales.
• Ejemplo nº 2: Se podría utilizar la regresión de Poisson para examinar el número de veces que la gente en Australia deja de pagar sus tarjetas de crédito en un periodo de cinco años en función de predictores como el estado del trabajo (empleado, desempleado), el salario anual (en dólares australianos), la edad (en años), el género (masculino y femenino) y los niveles de desempleo en el país (% de desempleados). Aquí, el «número de impagos de tarjetas de crédito» es la variable dependiente, mientras que «situación laboral» y «género» son variables independientes nominales, y «salario anual», «edad» y «niveles de desempleo en el país» son variables independientes continuas.
• Ejemplo 3: Podría utilizar la regresión de Poisson para examinar el número de personas que le preceden en la cola del servicio de Urgencias (A&E) de un hospital en función de predictores como el modo de llegada a A&E (ambulancia o autocontrol), la gravedad evaluada de la lesión durante el triaje (leve, moderada, grave), la hora del día y el día de la semana. Aquí, el «número de personas que le preceden en la cola» es la variable dependiente, mientras que el «modo de llegada» es una variable independiente nominal, la «gravedad de la lesión evaluada» es una variable independiente ordinal, y la «hora del día» y el «día de la semana» son variables independientes continuas.
• Ejemplo 4: Podría utilizar la regresión de Poisson para examinar el número de estudiantes que obtienen una nota de primera clase en un programa de MBA en función de predictores como los tipos de cursos opcionales que eligieron (principalmente numéricos, principalmente cualitativos, una mezcla de numéricos y cualitativos) y su GPA al entrar en el programa. En este caso, el «número de estudiantes de primera clase» es la variable dependiente, mientras que «cursos opcionales» es una variable independiente nominal y «GPA» es una variable independiente continua.

Una vez realizada la regresión de Poisson, podrá determinar cuáles de sus variables independientes (si las hay) tienen un efecto estadísticamente significativo sobre su variable dependiente. En el caso de las variables independientes categóricas, podrá determinar el porcentaje de aumento o disminución de los recuentos de un grupo (por ejemplo, las muertes de «niños» en las montañas rusas) frente a otro (por ejemplo, las muertes de «adultos» en las montañas rusas). En el caso de las variables independientes continuas, podrá interpretar cómo un aumento o una disminución de una sola unidad en esa variable se asocia con un aumento o una disminución porcentual en los recuentos de su variable dependiente (por ejemplo, una disminución de 1.000 dólares en el salario -la variable independiente- sobre el cambio porcentual en el número de veces que la gente en Australia deja de pagar sus tarjetas de crédito -la variable dependiente).

Esta guía de «inicio rápido» le muestra cómo llevar a cabo la regresión de Poisson utilizando SPSS Statistics, así como interpretar e informar de los resultados de esta prueba. Sin embargo, antes de que le presentemos este procedimiento, debe comprender los diferentes supuestos que deben cumplir sus datos para que la regresión de Poisson le proporcione un resultado válido. A continuación, tratamos estos supuestos.

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Supuestos

Cuando decida analizar sus datos utilizando la regresión de Poisson, parte del proceso consiste en comprobar que los datos que desea analizar pueden realmente ser analizados utilizando la regresión de Poisson. Es necesario hacer esto porque sólo es apropiado utilizar la regresión de Poisson si sus datos «pasan» por cinco supuestos que son necesarios para que la regresión de Poisson le dé un resultado válido. En la práctica, la comprobación de estos cinco supuestos le llevará la mayor parte de su tiempo al realizar la regresión de Poisson. Sin embargo, es esencial que lo haga porque no es infrecuente que los datos infrinjan (es decir, que no cumplan) uno o más de estos supuestos. Sin embargo, incluso cuando sus datos no cumplen algunos de estos supuestos, suele haber una solución para superarlo. En primer lugar, echemos un vistazo a estos cinco supuestos:

• Supuesto nº 1: Su variable dependiente consiste en datos de conteo. Los datos de recuento son diferentes a los datos medidos en otros tipos de regresión bien conocidos (por ejemplo, la regresión lineal y la regresión múltiple requieren variables dependientes que se miden en una escala «continua», la regresión logística binomial requiere una variable dependiente medida en una escala «dicotómica», la regresión ordinal requiere una variable dependiente medida en una escala «ordinal» y la regresión logística multinomial requiere una variable dependiente medida en una escala «nominal»). En cambio, las variables de recuento requieren datos enteros que deben ser cero o mayores. En términos sencillos, piense en un «entero» como un número «entero» (por ejemplo, 0, 1, 5, 8, 354, 888, 23400, etc.). Además, dado que los datos de recuento deben ser «positivos» (es decir, constan de valores enteros «no negativos»), no pueden constar de valores «negativos» (por ejemplo, valores como -1, -5, -8, -354, -888 y -23400 no se considerarían datos de recuento). Además, a veces se sugiere que la regresión de Poisson sólo se realice cuando el recuento medio es un valor pequeño (por ejemplo, menos de 10). Cuando hay un gran número de recuentos, podría ser más apropiado otro tipo de regresión (por ejemplo, regresión múltiple, regresión gamma, etc.).
  Ejemplos de variables de recuento incluyen el número de vuelos retrasados por más de tres horas en los aeropuertos europeos, el número de estudiantes suspendidos por las escuelas de Washington en los Estados Unidos, el número de veces que la gente en Australia deja de pagar sus tarjetas de crédito en un período de cinco años, el número de personas que le preceden en la cola del servicio de Urgencias (A&E) de un hospital, el número de estudiantes que obtienen una nota de primera clase (normalmente menos de 5) en un programa de MBA, y el número de personas que mueren en accidentes de montaña rusa en Estados Unidos.
• Supuesto nº 2: Tiene una o más variables independientes, que pueden medirse en una escala continua, ordinal o nominal/dicotómica. Las variables ordinales y nominales/discotómicas pueden clasificarse a grandes rasgos como variables categóricas.
  Ejemplos de variables continuas son el tiempo de revisión (medido en horas), la inteligencia (medida mediante la puntuación del CI), el rendimiento en los exámenes (medido de 0 a 100) y el peso (medido en kg). Ejemplos de variables ordinales son los ítems de Likert (por ejemplo, una escala de 7 puntos que va de «muy de acuerdo» a «muy en desacuerdo»), entre otras formas de clasificar las categorías (por ejemplo, una escala de 3 puntos que explica cuánto le ha gustado un producto a un cliente, que va de «No mucho» a «Sí, mucho»). Ejemplos de variables nominales son el género (por ejemplo, dos grupos -hombre y mujer-, por lo que también se conoce como variable dicotómica), el origen étnico (por ejemplo, tres grupos: caucásico, afroamericano e hispano) y la profesión (por ejemplo, cinco grupos: cirujano, médico, enfermera, dentista, terapeuta). Recuerde que las variables ordinales y nominales/discotómicas pueden clasificarse a grandes rasgos como variables categóricas. Puede aprender más sobre las variables en nuestro artículo: Tipos de variables.
• Supuesto #3: Debe tener independencia de las observaciones. Esto significa que cada observación es independiente de las otras observaciones; es decir, una observación no puede proporcionar ninguna información sobre otra observación. Esta es una suposición muy importante. La falta de observaciones independientes es sobre todo un problema de diseño del estudio. Un método para comprobar la posibilidad de independencia de las observaciones es comparar los errores estándar basados en el modelo con los errores robustos para determinar si hay grandes diferencias.
• Supuesto nº 4: La distribución de los recuentos (condicional al modelo) sigue una distribución de Poisson. Una consecuencia de esto es que los recuentos observados y esperados deberían ser iguales (en realidad, sólo muy similares). Básicamente, esto significa que el modelo predice bien los recuentos observados. Esto se puede comprobar de varias maneras, pero un método es calcular los recuentos esperados y representarlos con los recuentos observados para ver si son similares.
• Supuesto nº 5: La media y la varianza del modelo son idénticas. Esto es una consecuencia de la suposición #4; que hay una distribución de Poisson. Para una distribución de Poisson la varianza tiene el mismo valor que la media. Si se cumple este supuesto, se tiene equidispersión. Sin embargo, a menudo este no es el caso y sus datos están infra o sobredispersos, siendo la sobredispersión el problema más común. Existen varios métodos para evaluar la dispersión excesiva. Un método es evaluar la estadística de dispersión de Pearson.

Puede comprobar los supuestos #3, #4 y #5 utilizando SPSS Statistics. Los supuestos nº 1 y nº 2 deben comprobarse primero, antes de pasar a los supuestos nº 3, nº 4 y nº 5. Recuerde que si no ejecuta las pruebas estadísticas de estos supuestos correctamente, los resultados que obtenga al ejecutar la regresión de Poisson podrían no ser válidos.

Además, si sus datos violan el supuesto #5, lo cual es extremadamente común al realizar la regresión de Poisson, necesita comprobar primero si tiene «sobredispersión de Poisson aparente». La sobredispersión de Poisson aparente es cuando no se ha especificado el modelo correctamente, de forma que los datos parecen sobredispersos. Por lo tanto, si su modelo de Poisson viola inicialmente el supuesto de equidispersión, debe realizar primero una serie de ajustes en su modelo de Poisson para comprobar que realmente está sobredisperso. Para ello, deberá realizar seis comprobaciones de su modelo/datos: (a) ¿Incluye su modelo de Poisson todos los predictores importantes?; (b) ¿Incluyen sus datos valores atípicos?; (c) ¿Incluye su regresión de Poisson todos los términos de interacción relevantes?; (d) ¿Necesita transformarse alguno de sus predictores?; (e) ¿Necesita su modelo de Poisson más datos y/o son sus datos demasiado escasos?En la sección Procedimiento, ilustramos el procedimiento de SPSS Statistics para realizar una regresión de Poisson asumiendo que no se ha violado ningún supuesto. En primer lugar, introducimos el ejemplo que se utiliza en esta guía.

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Ejemplo &Configuración en SPSS Statistics

El Director de Investigación de una pequeña universidad quiere evaluar si la experiencia de un académico y el tiempo que tiene disponible para realizar investigaciones influye en el número de publicaciones que produce. Por ello, se pide a una muestra aleatoria de 21 académicos de la universidad que participen en la investigación: 10 son académicos con experiencia y 11 son académicos recientes. Se registra el número de horas que dedicaron a la investigación en los últimos 12 meses y el número de publicaciones revisadas por pares que generaron.

Para configurar este diseño de estudio en SPSS Statistics, creamos tres variables: (1) no_of_publications, que es el número de publicaciones que el académico publicó en revistas con revisión por pares en los últimos 12 meses; (2) experience_of_academic, que refleja si el académico tiene experiencia (es decir, ha trabajado en el mundo académico durante 10 años o más y, por lo tanto, se clasifica como «Experienced academic») o se ha convertido recientemente en un académico (es decir, ha trabajado en el mundo académico durante menos de 3 años, pero al menos un año, y por tanto se clasifica como «Académico reciente»); y (3) no_of_weekly_hours, que es el número de horas que un académico tiene disponibles cada semana para trabajar en investigación.

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Procedimiento de prueba en SPSS Statistics

Los 13 pasos siguientes le muestran cómo analizar sus datos utilizando la regresión de Poisson en SPSS Statistics cuando no se ha violado ninguno de los cinco supuestos de la sección anterior, Supuestos. Al final de estos 13 pasos, le mostramos cómo interpretar los resultados de su regresión de Poisson.

1. Haga clic en Analyze > Generalized Linear Models > Generalized Linear Models… en el menú principal, como se muestra a continuación:
   

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   Se le presentará el cuadro de diálogo Modelos lineales generalizados siguiente:

   

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2. Seleccione loglineal de Poisson en el área , como se muestra a continuación:
   

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   Nota: Aunque es estándar seleccionar loglineal de Poisson en el área para llevar a cabo una regresión de Poisson, también puede optar por ejecutar una regresión de Poisson personalizada seleccionando Personalizada en el área y, a continuación, especificando el tipo de modelo de Poisson que desea ejecutar mediante las opciones Distribución:, Función de enlace: y -Parámetro-.

3. Seleccione la pestaña . Aparecerá el siguiente cuadro de diálogo:
   

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4. Transfiera su variable dependiente, no_of_publications, al cuadro Dependent variable: del área utilizando el botón , como se muestra a continuación:
   

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5. Seleccione la pestaña . Aparecerá el siguiente cuadro de diálogo:
   

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6. Transfiera la variable independiente categórica, experiencia_de_academia, al cuadro Factores: y la variable independiente continua, no_de_horas_semanales, al cuadro Covariables:, utilizando los botones , como se muestra a continuación:
   

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   Nota 1: Si tiene variables independientes ordinales, debe decidir si se tratan como categóricas y se introducen en la casilla Factores: o se tratan como continuas y se introducen en la casilla Covariables:. No pueden introducirse en una regresión de Poisson como variables ordinales.

   Nota 2: Aunque es típico introducir variables independientes continuas en la casilla Covariables:, es posible introducir variables independientes ordinales en su lugar. Sin embargo, si decide hacerlo, su variable independiente ordinal se tratará como continua.

   Nota 3: Si hace clic en el botón aparecerá el siguiente cuadro de diálogo:
   
   En el área -Orden de categorías para los factores- puede elegir entre las opciones Ascendente, Descendente y Usar orden de datos. Estas opciones son útiles porque SPSS Statistics convierte automáticamente sus variables categóricas en variables ficticias. A menos que esté familiarizado con las variables ficticias, esto puede dificultar la interpretación de los resultados de una regresión de Poisson para cada uno de los grupos de sus variables categóricas. Por lo tanto, hacer cambios en las opciones en el área -Orden de categorías para los factores- puede facilitar la interpretación de su salida.

7. Seleccione la pestaña . Se le presentará el siguiente cuadro de diálogo:
   

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8. Mantenga el valor predeterminado de en el área -Build Term(s)- y transfiera las variables independientes categóricas y continuas, experience_of_academic y no_of_weekly_hours, del cuadro Factors and Covariates: al cuadro Model:, utilizando el botón , como se muestra a continuación:
   

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   Nota 1: Es en el cuadro de diálogo donde se construye el modelo de Poisson. En particular, usted determina qué efectos principales tiene (la opción ), así como si espera que haya interacciones entre sus variables independientes (la opción ). Si sospecha que tiene interacciones entre sus variables independientes, incluirlas en su modelo es importante no sólo para mejorar la predicción de su modelo, sino también para evitar problemas de sobredispersión, como se destacó en la sección de Supuestos anteriormente.
   Aunque proporcionamos un ejemplo para un modelo muy simple con un solo efecto principal (entre las variables independientes categóricas y continuas, experiencia_de_academia y no_de_horas_semanales), puede introducir fácilmente modelos más complejos utilizando las opciones , , . y en el área -Construir término(s)- dependiendo del tipo de efectos principales e interacciones que tenga en su modelo.

   Nota 2: También puede construir términos anidados en su modelo añadiéndolos en la casilla Término: en el área -Construir término anidado-. No tenemos efectos anidados en este modelo, pero hay muchos escenarios en los que podría tener términos anidados en su modelo.

9. Seleccione la pestaña . Se le presentará el siguiente cuadro de diálogo:
   

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10. Mantenga seleccionadas las opciones predeterminadas.

    Nota: Hay un número de opciones diferentes que puede seleccionar dentro del área -Estimación de parámetros-, incluyendo la posibilidad de elegir un (a) método de parámetro de escala (es decir, o en lugar de en la casilla Método de parámetro de escala:), que podría considerarse para tratar los problemas de sobredispersión; y (b) matriz de covarianza (es decir, Estimador robusto en lugar de Estimador basado en el modelo en el área -Matriz de covarianza-), que presenta otra opción potencial (entre otras cosas) para tratar los problemas de sobredispersión.
    También hay una serie de especificaciones que puede hacer en el área -Iteraciones- con el fin de hacer frente a los problemas de no convergencia en su modelo de Poisson.

11. Seleccione la pestaña . Aparecerá el siguiente cuadro de diálogo:
    

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12. Seleccione Incluir estimaciones de parámetros exponenciales en el área , como se muestra a continuación:
    

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    Nota 1: En el área , puede elegir entre la relación de Wald y la de verosimilitud en función de factores como el tamaño de la muestra y las implicaciones que esto puede tener para la precisión de las pruebas de significación estadística.
    En el área , la prueba del multiplicador de Lagrange también puede ser útil para determinar si el modelo de Poisson es apropiado para sus datos (aunque no se puede ejecutar utilizando el procedimiento de regresión de Poisson).

    Nota 2: También puede seleccionar una amplia gama de otras opciones en las pestañas y . Estas incluyen opciones que son importantes cuando se examinan las diferencias entre los grupos de sus variables categóricas, así como la prueba de los supuestos de la regresión de Poisson, como se discutió en la sección Supuestos anteriormente.

13. Haga clic en el botón . Esto generará la salida.

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Interpretación e informe de la salida del análisis de regresión de Poisson

SPSS Statistics generará bastantes tablas de salida para un análisis de regresión de Poisson. En esta sección, le mostramos las ocho tablas principales necesarias para entender sus resultados del procedimiento de regresión de Poisson, suponiendo que no se han violado los supuestos.

Información del modelo y de la variable

La primera tabla de la salida es la tabla de información del modelo (como se muestra a continuación). Esto confirma que la variable dependiente es el «Número de publicaciones», la distribución de probabilidad es «Poisson» y la función de enlace es el logaritmo natural (es decir, «Log»). Si está ejecutando una regresión de Poisson en sus propios datos, el nombre de la variable dependiente será diferente, pero la distribución de probabilidad y la función de enlace serán las mismas.

La segunda tabla, Resumen de procesamiento de casos, le muestra cuántos casos (por ejemplo, sujetos) se incluyeron en su análisis (la fila «Incluido») y cuántos no se incluyeron (la fila «Excluido»), así como el porcentaje de ambos. La fila «Excluidos» indica los casos (por ejemplo, los sujetos) que tienen uno o más valores perdidos. Como puede ver a continuación, había 21 sujetos en este análisis sin sujetos excluidos (es decir, sin valores perdidos).

La tabla de información de variables categóricas destaca el número y el porcentaje de casos (por ejemplo, sujetos) en cada grupo de cada variable categórica independiente en su análisis. En este análisis, sólo hay una variable categórica independiente (también conocida como «factor»), que fue experiencia_de_academia. Puede ver que los grupos están bastante equilibrados en número entre los dos grupos (es decir, 10 frente a 11). Los tamaños de grupo muy desequilibrados pueden causar problemas con el ajuste del modelo, pero podemos ver que no hay ningún problema aquí.

La tabla de información de variables continuas puede proporcionar una comprobación rudimentaria de los datos para cualquier problema, pero es menos útil que otros estadísticos descriptivos que puede ejecutar por separado antes de ejecutar la regresión de Poisson. Lo mejor que puede obtener de esta tabla es comprender si puede haber sobredispersión en su análisis (es decir, la suposición #5 de la regresión de Poisson). Puede hacerlo considerando la relación entre la varianza (el cuadrado de la columna «Desviación estándar») y la media (la columna «Media») de la variable dependiente. Puede ver estas cifras a continuación:

La media es 2,29 y la varianza es 2,81 (1,677582), lo que supone una relación de 2,81 ÷ 2,29 = 1,23. Una distribución de Poisson supone una relación de 1 (es decir, la media y la varianza son iguales). Por lo tanto, podemos ver que antes de añadir cualquier variable explicativa hay una pequeña cantidad de sobredispersión. Sin embargo, tenemos que comprobar este supuesto cuando se hayan añadido todas las variables independientes a la regresión de Poisson. Esto se discute en la siguiente sección.

Determinar qué tan bien se ajusta el modelo

La tabla de bondad de ajuste proporciona muchas medidas que se pueden utilizar para evaluar qué tan bien se ajusta el modelo. Sin embargo, nos concentraremos en el valor de la columna «Valor/df» para la fila «Chi-cuadrado de Pearson», que es 1,108 en este ejemplo, como se muestra a continuación:

Un valor de 1 indica equidispersión, mientras que los valores superiores a 1 indican sobredispersión y los valores inferiores a 1 indican infradispersión. El tipo más común de violación del supuesto de equidispersión es la sobredispersión. Con un tamaño de muestra tan pequeño en este ejemplo, es poco probable que un valor de 1,108 sea una violación grave de este supuesto.

La tabla de la prueba ómnibus encaja en algún lugar entre esta sección y la siguiente. Se trata de una prueba de relación de verosimilitud para comprobar si todas las variables independientes mejoran colectivamente el modelo con respecto al modelo de sólo intercepción (es decir, sin añadir variables independientes). Teniendo todas las variables independientes en nuestro modelo de ejemplo tenemos un valor p de 0,006 (es decir, p = 0,006), lo que indica un modelo global estadísticamente significativo, como se muestra a continuación en la columna «Sig.»:

Ahora que sabe que la adición de todas las variables independientes genera un modelo estadísticamente significativo, querrá saber qué variables independientes específicas son estadísticamente significativas. Esto se trata en la siguiente sección.

Efectos del modelo y significación estadística de las variables independientes

La tabla Pruebas de efectos del modelo (como se muestra a continuación) muestra la significación estadística de cada una de las variables independientes en la columna «Sig.»:

Normalmente no hay ningún interés en el intercepto del modelo. Sin embargo, podemos ver que la experiencia del académico no fue estadísticamente significativa (p = 0,644), pero el número de horas trabajadas por semana sí lo fue (p = 0,030). Esta tabla es sobre todo útil para las variables independientes categóricas porque es la única tabla que considera el efecto global de una variable categórica, a diferencia de la tabla de Estimaciones de Parámetros, como se muestra a continuación:

Esta tabla proporciona tanto las estimaciones de los coeficientes (la columna «B») de la regresión de Poisson como los valores exponenciados de los coeficientes (la columna «Exp(B)»). Suelen ser estos últimos los más informativos. Estos valores exponenciados pueden interpretarse de más de una manera y en esta guía le mostraremos una de ellas. Consideremos, por ejemplo, el número de horas trabajadas semanalmente (es decir, la fila «no_de_horas_semanales»). El valor exponencial es 1,044. Esto significa que el número de publicaciones (es decir, el recuento de la variable dependiente) será 1,044 veces mayor por cada hora extra trabajada a la semana. Otra forma de decir esto es que hay un aumento del 4,4% en el número de publicaciones por cada hora extra trabajada por semana. Se puede hacer una interpretación similar para la variable categórica.

Poniéndolo todo junto

Se podrían redactar los resultados del número de horas trabajadas por semana de la siguiente manera: