Las sumas parciales de 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ son 1, 3, 7, 15, …; como éstas divergen al infinito, también lo hace la serie.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\displaystyle 2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Por tanto, cualquier método de suma totalmente regular da una suma de infinito, incluyendo la suma de Cesàro y la de Abel. Por otro lado, existe al menos un método generalmente útil que suma 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ al valor finito de -1. La serie de potencias asociada
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}
tiene un radio de convergencia alrededor de 0 de sólo 1/2, por lo que no converge en x = 1. No obstante, la función f así definida tiene una única continuación analítica en el plano complejo con el punto x = 1/2 eliminado, y viene dada por la misma regla f(x) = 1/1 – 2x. Como f(1) = -1, se dice que la serie original 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ es sumable (E) a -1, y -1 es la suma (E) de la serie. (La notación se debe a G. H. Hardy en referencia a la aproximación de Leonhard Euler a las series divergentes).
Una aproximación casi idéntica (la adoptada por el propio Euler) es considerar la serie de potencias cuyos coeficientes son todos 1, es decire.
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}
y enchufando y = 2. Estas dos series están relacionadas por la sustitución y = 2x.
El hecho de que la suma (E) asigne un valor finito a 1 + 2 + 4 + 8 + … muestra que el método general no es totalmente regular. Por otro lado, posee algunas otras cualidades deseables para un método de suma, incluyendo la estabilidad y la linealidad. Estos dos últimos axiomas obligan en realidad a que la suma sea -1, ya que hacen válida la siguiente manipulación:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\\\cdyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\cdyle 1+2send{array}}
En un sentido útil, s = ∞ es una raíz de la ecuación s = 1 + 2s. (Por ejemplo, ∞ es uno de los dos puntos fijos de la transformación de Möbius z → 1 + 2z en la esfera de Riemann). Si se sabe que algún método de suma devuelve un número ordinario para s, es decir, no ∞, entonces se determina fácilmente. En este caso, s puede restarse de ambos lados de la ecuación, dando como resultado 0 = 1 + s, por lo que s = -1.
La manipulación anterior podría ser llamada para producir -1 fuera del contexto de un procedimiento de suma suficientemente potente. Para los conceptos de suma más conocidos y sencillos, incluido el convergente fundamental, es absurdo que una serie de términos positivos pueda tener un valor negativo. Un fenómeno similar ocurre con la serie geométrica divergente 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯, donde una serie de enteros parece tener la suma no entera 1/2. Estos ejemplos ilustran el peligro potencial de aplicar argumentos similares a las series implicadas por decimales tan recurrentes como 0,111… y sobre todo 0,999…. Los argumentos se justifican en última instancia para estas series convergentes, implicando que 0,111… = 1/9 y 0,999… = 1, pero las pruebas subyacentes exigen un pensamiento cuidadoso sobre la interpretación de las sumas interminables.
También es posible ver esta serie como convergente en un sistema numérico diferente de los números reales, a saber, los números 2-ádicos. Como serie de números 2-ádicos esta serie converge a la misma suma, -1, que se derivó anteriormente por continuación analítica.