For et fuldstændigt bevis, se artiklen Reciprocitet (elektromagnetisme). Her præsenteres et almindeligt simpelt bevis begrænset til tilnærmelsen af to antenner, der er adskilt af en stor afstand i forhold til antennens størrelse, i et homogent medium. Den første antenne er den prøveantenne, hvis mønstre skal undersøges; denne antenne kan pege frit i en hvilken som helst retning. Den anden antenne er en referenceantenne, som peger stift mod den første antenne.
Hver antenne er skiftevis forbundet med en sender med en bestemt kildeimpedans og en modtager med samme indgangsimpedans (impedansen kan være forskellig mellem de to antenner).
Det antages, at de to antenner er tilstrækkeligt langt fra hinanden til, at sendeantennens egenskaber ikke påvirkes af den belastning, som modtagerantennen lægger på den. Følgelig kan den effekt, der overføres fra senderen til modtageren, udtrykkes som et produkt af to uafhængige faktorer, hvoraf den ene afhænger af sendeantennens retningsbestemte egenskaber og den anden afhænger af modtageantennens retningsbestemte egenskaber.
For sendeantennen gælder, at ved definitionen af forstærkning, G {\displaystyle G}
, strålingseffekttætheden i en afstand r {\displaystyle r}
fra antennen (dvs. den effekt, der passerer gennem en arealenhed) er W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\displaystyle \mathrm {W} (\theta ,\Phi )={\\frac {\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}}P_{t}}}
.
Her er vinklerne θ {\displaystyle \theta }
og Φ {\\displaystyle \Phi }
angiver en afhængighed af retningen fra antennen, og P t {\\displaystyle P_{t}}
står for den effekt, som senderen ville levere til en afpasset belastning. Forstærkning G {\displaystyle G}
kan opdeles i tre faktorer; antenneforstærkningen (den retningsbestemte omfordeling af effekten), strålingsvirkningsgraden (der tager højde for ohmsk tab i antennen) og endelig tabet som følge af mismatch mellem antenne og sender. Hvis man strengt taget skal medregne mispasningen, bør den kaldes den realiserede forstærkning, men det er ikke almindelig praksis.
For modtagerantennen er den effekt, der leveres til modtageren,
P r = A ( θ , Φ ) W {\displaystyle P_{r}=\mathrm {A} (\theta ,\Phi )W\,}
.
Her W {\displaystyle W}
er effekttætheden af den indfaldende stråling, og A {\displaystyle A}
er antenneåbningen eller antennens effektive areal (det areal, som antennen skal fylde for at opsamle den observerede opfangede effekt). Retningsargumenterne er nu relative i forhold til modtagerantennen, og igen er A {\displaystyle A}
medtages for at inkludere ohmsk tab og mismatchtab.
Sætter man disse udtryk sammen, er den effekt, der overføres fra sender til modtager,
P r = A G 4 π r 4 π r 2 P t {\displaystyle P_{r}=A{\frac {G}{4\pi r^{2}}}}P_{t}}}
,
hvor G {\displaystyle G}
og A {\displaystyle A}
er retningsafhængige egenskaber for henholdsvis sende- og modtageantennerne. For transmission fra referenceantennen (2) til testantennen (1), dvs. P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi ){\frac {G_{2}}{4\pi r^{2}}}} P_{2t}}
,
og for transmission i den modsatte retning
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {\displaystyle P_{2r}=A_{2}{{\frac {\mathrm {G_{1}}} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}}P_{1t}}}
.
Her er forstærkning G 2 {\displaystyle G_{2}}
og det effektive areal A 2 {\displaystyle A_{2}}
for antenne 2 er faste, fordi denne antennes orientering er fast i forhold til den første.
Nu kræver reciprocitetssætningen for en given disposition af antennerne, at effektoverførslen er lige effektiv i hver retning, dvs.
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {\displaystyle {\frac {\frac {P_{1r}}}{P_{2t}}}={\frac {P_{2r}}{P_{1t}}}}
,
hvorfor
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\displaystyle {\frac {\frac {\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}}}{\mathrm {G_{1}}}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}}={\frac {A_{2}}{G_{2}}}}
.
Men højre side af denne ligning er fast (fordi orienteringen af antenne 2 er fast), og derfor
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = k o n s t a n t {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}}=\mathrm {konstant} }
,
dvs. at retningsafhængigheden af den (modtagende) effektive apertur og den (transmitterende) forstærkning er identisk (QED). Endvidere er proportionalitetskonstanten den samme uanset antennens beskaffenhed og må derfor være den samme for alle antenner. En analyse af en bestemt antenne (f.eks. en hertzsk dipol) viser, at denne konstant er λ 2 4 π {\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}}{4\pi }}}
, hvor λ {\displaystyle \lambda }
er bølgelængden i det frie rum. For en hvilken som helst antenne hænger forstærkning og den effektive åbning således sammen ved A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {\displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )={\frac {\lambda ^{2}\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi }}}}
.
Selv for en modtageantenne er det mere almindeligt at angive forstærkningen end at angive den effektive åbning. Den effekt, der leveres til modtageren, skrives derfor mere almindeligt som
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {\displaystyle P_{r}}={\frac {\lambda ^{2}G_{r}G_{t}}{(4\pi r)^{2}}}}P_{t}}}
(se link budget). Den effektive apertur er dog af interesse for sammenligning med antennens faktiske fysiske størrelse.
Praktiske konsekvenserRediger
- Ved bestemmelse af mønsteret for en modtageantenne ved computersimulering er det ikke nødvendigt at foretage en beregning for alle mulige indfaldsvinkler. I stedet bestemmes antennens strålingsmønster ved en enkelt simulering, og modtagermønsteret udledes ved reciprocitet.
- Ved bestemmelse af en antennes mønster ved måling kan antennen være enten modtagende eller transmitterende, alt efter hvad der er mest praktisk.
- For en praktisk antenne skal sidelobniveauet være mindst muligt, det er nødvendigt at have den maksimale retningsvirkning.