En ring i matematisk forstand er en mængde 
sammen med to binære operatorer 
og 
(almindeligvis fortolket som henholdsvis addition og multiplikation), der opfylder følgende betingelser:
1. Additiv associativitet: For alle 
, 
,
2. Additiv kommutativitet: For alle 
, 
,
3. Additiv identitet: Der findes et element 
, således at for alle 
, 
,
4. Additiv omvendt: For alle 
findes der 
, således at 
,
5. Venstre og højre distributivitet: For alle 
, 
og 
gælder, at
6. Multiplikativ associativitet: For alle 
, 
(en ring, der opfylder denne egenskab, betegnes undertiden eksplicit som en associativ ring).
Betingelserne 1-5 er altid nødvendige. Selv om der findes ikke-associative ringe, kræver stort set alle tekster også betingelse 6 (Itô 1986, s. 1369-1372; s. 418; Zwillinger 1995, s. 141-143; Harris og Stocker 1998; Knuth 1998; Korn og Korn 2000; Bronshtein og Semendyayev 2004).
Ringe kan også opfylde forskellige valgfrie betingelser:
7. Multiplikativ kommutativitet: For alle 
, 
(en ring, der opfylder denne egenskab, kaldes en kommutativ ring),
8. Multiplikativ identitet: Der findes et element 
, således at for alle 
, 
(en ring, der opfylder denne egenskab, betegnes som en enhedsring eller undertiden som en “ring med identitet”),
9. Multiplikativ omvendt: For hvert 
i 
findes der et element 
, således at for alle 
, 
, hvor 1 er identitetselementet.
En ring, der opfylder alle yderligere egenskaber 6-9, kaldes et felt, mens en ring, der kun opfylder de yderligere egenskaber 6, 8 og 9, kaldes en divisionsalgebra (eller et skævt felt).
Nogle forfattere afviger fra den normale konvention og kræver (i henhold til deres definition), at en ring skal omfatte yderligere egenskaber. F.eks. definerer Birkhoff og Mac Lane (1996) en ring til at have en multiplikativ identitet (dvs. egenskab 8).
Der er en række eksempler på ringe, der mangler bestemte betingelser:
1. Uden multiplikativ associativitet (undertiden også kaldet ikke-associative algebraer): oktonioner, OEIS A037292,
2. Uden multiplikativ kommutativitet: Real-værdi 
matricer, quaternioner,
3. Uden multiplikativ identitet: Lige-værdige hele tal,
4. Uden multiplikativ invers: hele tal.
Ordet ring er en forkortelse for det tyske ord “Zahlring” (talring). Det franske ord for en ring er anneau, og det moderne tyske ord er Ring, begge betyder (ikke så overraskende) “ring”. Fraenkel (1914) gav den første abstrakte definition af ring, selv om dette arbejde ikke fik stor betydning. Udtrykket blev indført af Hilbert for at beskrive ringe som
Ved successivt at multiplicere det nye element 
, looper det til sidst rundt og bliver til noget allerede genereret, noget der ligner en ring, dvs. 
er nyt, men 
er et heltal. Alle algebraiske tal har denne egenskab, f.eks. opfylder 
.
En ring skal indeholde mindst ét element, men behøver ikke at indeholde en multiplikativ identitet eller være kommutativ. Antallet af endeløse ringe med 
elementer for 
, 2, …, er 1, 2, 2, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 4, …, … (OEIS A027623 og A037234; Fletcher 1980). Hvis 
og 
er primtal, er der to ringe af størrelse 
, fire ringe af størrelse 
, 11 ringe af størrelse 
(Singmaster 1964, Dresden), 22 ringe af størrelse 
, 52 ringe af størrelse 
for 
, og 53 ringe af størrelse 
for 
(Ballieu 1947, Gilmer og Mott 1973; Dresden).
En ring, der er kommutativ under multiplikation, har et enhedselement og ikke har nogen divisorer af nul, kaldes et integralområde. En ring, hvis elementer, der ikke er nul, danner en kommutativ multiplikationsgruppe, kaldes et felt. De enkleste ringe er de hele tal 
, polynomier 
og 
i en og to variable og kvadratiske 
reelle matricer.
Ringe, der er blevet undersøgt og fundet interessante, er normalt opkaldt efter en eller flere af deres undersøgere. Denne praksis fører desværre til navne, som giver meget lidt indsigt i de relevante egenskaber ved de tilknyttede ringe.
Renteln og Dundes (2005) giver følgende (dårlige) matematiske vittighed om ringe:
Q: What’s an Abelian group under addition, closed,associative, distributive, and bears a curse? Svar: Nibelungens ring.