Der er 3 grundlæggende operationer, der anvendes på rækker i en matrix, når du bruger matrixen til at løse et system af lineære ligninger . Målet er normalt at få den venstre del af matrixen til at ligne identitetsmatrixen .
De tre operationer er:
- Skift af rækker
- Multiplikation af en række med et tal
- Tilføjelse af rækker
Skift af rækker
Du kan skifte rækker i en matrix for at få en ny matrix.
→
I det viste eksempel ovenfor flytter vi række 1 til række 2 , række 2 til række 3 og række 3 til række 1 . (Grunden til at gøre dette er at få en 1 i øverste venstre hjørne.)
Multiplikation af en række med et tal
Du kan multiplicere en hvilken som helst række med et tal. (Det betyder, at man ganger hver post i rækken med det samme tal.)
→ R 3 : 1 3 R 3
I dette eksempel har vi ganget række 3 i matricen med 1 3 . (Dette giver os den 1, vi har brug for i række 3 , kolonne 3 .)
Tilføjelse af rækker
Du kan også lægge to rækker sammen og erstatte en række med resultatet.
For eksempel kan vi i den matrix, der resulterede i det sidste eksempel, addere række 2 og 3 sammen, post for post:
+ _
Derefter erstatter vi række 2 med resultatet.
→ R 2 : R 2 + R 3
Tilføjelse af multipla rækker
Vi sagde, at der kun var tre operationer, og det er der også. Men ved at bruge de to sidste operationer i kombination kan vi tilføje hele multipla af rækker til andre rækker for at få tingene til at gå hurtigere.
Gå et skridt tilbage, så vi har matricen:
Nu skal du i stedet for blot at lægge række 2 + række 3 sammen, lægge række 2 + ( 2 × række 3 ) :
+ _
Derefter erstatter du række 2 med resultatet.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
På denne måde får vi et 0 i række 2 , kolonne 3 .
Vi kan gøre dette igen for at få et 0 i række 2 , kolonne 1 . Her multiplicerer vi række 1 med – 2 , lægger det til række 2 , og erstatter række 2 med resultatet .
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
Vi vil vise et par trin mere, for at få den 3 × 3 identitetsmatrix til venstre (og dermed løse systemet).
Det næste skridt er at addere række 2 + ( 4 × række 3 ) for at få et 0 i række 2 , kolonne 3 .
→ R 2 : R 2 : R 2 + 4 R 3
Dernæst skal vi have et nul i række 1 , kolonne 3 .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
Det sidste trin er blot en anvendelse af den anden operation, nemlig at multiplicere en række med et tal.
→ 1 3 R 3 R 3
Vi har nu løsningen som en ordnet tripel ( 1 , 0 , – 2 ) .
Vigtig bemærkning: Hvis de ligninger, der er repræsenteret af din oprindelige matrix, repræsenterer identiske eller parallelle linjer, vil du ikke kunne få identitetsmatrixen ved hjælp af disse rækkeoperationer. I dette tilfælde findes løsningen enten ikke, eller der er uendeligt mange løsninger til systemet.