BIBLIOGRAFI
I et optimeringsproblem er der en (reelt værdifuld) funktion, der skal maksimeres eller minimeres. Denne funktion kaldes ofte målfunktionen, et begreb, der synes at være opstået inden for planlægning og programmering, især lineær programmering, gennem matematikeren George Dantzigs (1914-2005) arbejde. Før 1947, hvor Dantzig opfandt det lineære programmeringsproblem og simplexmetoden til dets løsning, omfattede militære logistiske planer, kaldet “programmer”, beslutningstagning i stor skala baseret på grundregler. Dantzig skabte matematiske modeller til at fastlægge de betingelser, der skulle opfyldes, og et kriterium for at vælge en gennemførlig løsning frem for en anden. Dermed blev der ydet et væsentligt bidrag til et vigtigt aktivitetsområde. Dantzig indledte en ny æra inden for beslutningstagning og bragte begrebet objektivfunktion frem som et numerisk matematisk udtryk for det mål, der skulle nås med programmet.
Sådan måler en objektivfunktion “godheden” af en gennemførlig vektor, dvs. en vektor, hvis koordinater opfylder alle de pålagte sidebetingelser, hvis der er nogen. I et lineært programmeringsproblem
er målfunktionen f.eks. den lineære form p 1x 1 + p 2x 2 + … + pnxn, som f.eks. kan måle den samlede indtægt som følge af salg i mængderne x1, x2, …, xn til enhedspriserne p 1, p 2, … pn. Ulighederne i denne illustration repræsenterer sidebetingelser (eller begrænsninger) for variablerne x 1, x 2, …, xn.
Det betyder ikke, at alle målfunktioner (eller alle begrænsninger) er af denne type. De kan være lineære eller ikke-lineære, afhængigt af, hvordan godhed defineres i den anvendte sammenhæng. Den funktion, der minimeres i et parameterestimat ved hjælp af “mindste kvadraters”-kriteriet, er et eksempel på en ikke-lineær (faktisk kvadratisk) målfunktion. I problemer af denne art kan de pågældende “variabler” være “frie” (ubegrænsede) eller begrænsede. I det ikke-lineære tilfælde bliver konveksitet (eller mangel på samme) et vigtigt spørgsmål fra et optimeringsteoretisk synspunkt.
Det underliggende begreb om en målfunktion – under et andet navn eller slet ikke – har eksisteret i århundreder før Dantzig introducerede denne særlige terminologi. Man behøver blot at huske på den multiplikatormetode, der blev udviklet af Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) til optimeringsproblemer med lighedsbegrænsninger. Der er mange synonyme udtryk i brug. Blandt de mere abstrakte er maksimand for maksimeringsproblemer og minimand for minimeringsproblemer. Disse udtryk kan anvendes i de respektive optimeringsproblemer, uanset hvilken anvendelse der er tale om. På anvendte områder som f.eks. økonometri finder man udtrykket kriteriefunktion. Endnu andre med en åbenlys forbindelse til økonomi er social velfærdsfunktion, økonomisk velfærdsfunktion, tabsfunktion og profitfunktion. Yderligere eksempler fra andre områder er afstandsfunktion og flowværdi; pointen er, at den betegnelse, der anvendes i stedet for målfunktion, kan henvise til det, den måler.
SØG OGSÅ Koopmans, Tjalling; Maximering; Præferencer; Præferencer, Interdependent; Principal-Agent modeller; Programmering, lineær og ikke-lineær; Rationalitet; Repræsentativ agent; Sociale velfærdsfunktioner; Utilitetsfunktion
BIBLIOGRAPHI
Bergson, Abram. 1938. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics (En omformulering af visse aspekter af velfærdsøkonomi). Quarterly Journal of Economics 52: 310-334.
Dantzig, George B. 1963. Linear Programming and Extensions (Lineær programmering og udvidelser). Princeton, NJ: Princeton University Press.
Dorfman, Robert, Paul A. Samuelson, og Robert M. Solow. 1958. Linear Programming and Economic Analysis. New York: McGraw-Hill.
Koopmans, Tjalling C. 1951. Introduktion. I Aktivitetsanalyse af produktion og allokering, red. Tjalling C. Koopmans, 1-12. New York: Wiley.
Lagrange, Joseph-Louis. 1797. Théorie des fonctions analytiques. Paris: Imprimerie de la République.
Lange, Oskar. 1942. The Foundations of Welfare Economics. Econometrica 10: 215-228.
Wood, Marshall K., og George B. Dantzig. 1951. The Programming of Interdependent Activities: General Discussion. In Activity Analysis of Production and Allocation, ed. Tjalling C. Koopmans, 15-18. New York: Wiley.
Richard W. Cottle