Dette kapitel er vores første om symbolsk logik. På dette tidspunkt af semesteret bliver videoerne normalt meget nyttige for de fleste studerende, da meget af det, vi nu skal lave, involverer visuel indlæring og genkendelse af mønstre.
Det er vigtigt, at du forstår, at vi i resten af semesteret vil gøre det samme som i de foregående kapitler – nemlig at analysere ræsonnementer. For århundreder siden opdagede filosoffer, at vi kunne sætte vores tanker ind i symboler og lettere kunne følge og bedømme de ræsonnementsspor, vi skaber. Dette var et vigtigt skridt i den senere udvikling af vores moderne teknologiske samfund og vores brug af digitale computere. Før computere kan fungere, er vi nødt til at lægge vores tanker (software) ind i dem. I dag skaber vi programmeringssprog for at gennemføre denne proces. Det, vi vil lære i kapitel 7-11, er grundlæggende softwaregrundlaget — de mest grundlæggende logiske operationer — for vores tankegang, som vi lægger ind i computere. Kapitel 12 vil introducere nogle kontroversielle og nye tanker om denne proces.
Vi har allerede i et vist omfang beskæftiget os med symbolsk logik. Vi så, at vi kunne repræsentere mønstre af almindelige fejlslutninger og forenkle dem i symboler. F.eks. tvivlsom årsag:
Præmis: A er sket, B er sket.
Slutning: A forårsagede B.
Basis-symboler
Nu skal vi introducere nye symboler, så vi kan forenkle udsagn og argumenter. Som det fremgår af kapitlet
, skal vi bruge:
~ –> ‘ikke’
Obama bliver ikke præsident i 2016, ~O
– –> ‘og’
Pua og Kanoe er indfødte hawaiiianere. P – K
v = ‘eller’
George eller Chelsea vil være til mødet i morgen. G v C
⊃ –> ‘hvis, så’
Hvis George deltager i mødet i morgen, så vil Chelsea også deltage. G ⊃ C
≡ –> ‘hvis og kun hvis’
Demokrati vil være muligt i Irak, hvis og kun hvis de etniske befolkningsgrupper samarbejder. D ≡ C
/ ∴ –> ‘Derfor’ (konklusion)
Se den sidste del af diskussionen i afsnittet “Komplekse oversættelser” og svaret på #25, eks. III i lærebogen (C7). Nedenfor også:
Mimicking the Dictionary
Lærebogen sammenligner oversættelsesprocessen med et barn, der lærer et sprog. Processen er meget lig hinanden. Før et barn kan kommunikere, skal det vide, hvordan man bruger ordene “og ,” “eller ,” og “ikke”. Som det fremgår af kapitel 7, vil vi koncentrere os om disse ord samt om sætningerne ‘hvis, så’ og ‘hvis og kun hvis ‘. Vi vil fokusere på, hvad disse ord betyder, hvordan vi bruger dem, og hvordan vi vil repræsentere symbolsk, hvad de betyder, og hvordan vi bruger dem i kapitel 8. Kapitel 7 fokuserer på simpelthen at oversætte almindelige engelske udsagn til et nyt symbolsk sprog.
For mange studerende er oversættelsen en af de sværeste dele af at lære at lave symbolsk logik. Normalt skyldes det, at de ikke har så gode engelskkundskaber. Hvis du ikke forstår det, du læser, vil du have svært ved at repræsentere det, du læser, i et nyt sprog. Desuden er det svært for de fleste mennesker at lære sprog. I UH-systemet skal man have to års undervisning i et fremmedsprog for at få en bachelorgrad, og sprogkurser som f.eks. hawaiiansk, spansk og japansk kræver meget tid hver dag.
Den gode nyhed for os er, at det sprog, vi skal lære, er meget enkelt. I de ovennævnte sprog skal de studerende lære hundredvis af ord hvert semester. I vores har vi kun FEM centrale ordforrådsudtryk for hele semesteret – de ord, der er anført ovenfor og i kapitel 7 i afsnittet Logiske forbindelsesord. Husk også på, at de fleste mennesker ikke behersker et sprog lige med det samme. Det kræver masser af øvelse. Øvelserne i kapitel 7 (I, II, III) er kun de første øvelser. Vi vil også have oversættelsesøvelser i kapitel 8, 9, 10 og 11.
De vigtigste sider i kapitel 7 dækker det, vi kalder Ordbogen. Til de fleste af øvelserne kan du blot “efterligne” ordbogen. Antag for eksempel, at jeg til den afsluttende eksamen bad dig oversætte sætningen,
“Lisa kan ikke spille både fodbold og tennis i år.”
Sæt, at konteksten er en mor, der fortæller sin veninde, at hendes datter har så travlt i år, at hun ikke kan spille både fodbold og tennis, som hun gjorde sidste år.
Hvis
S = “Lena kan spille fodbold i år”
T = “Lena kan spille tennis i år”
så kan du blot kigge i ordbogen efter nøgleordene “ikke begge dele” og efterligne det eksempel.
Nummer 11 i ordbogen viser, at vores svar skal være ~(S – T).
I første omgang burde du kunne få dette svar uden selv at vide, hvorfor det er det rigtige svar. Fordi du formentlig taler engelsk, burde du vide hvorfor og også hvorfor “not both” ikke er det samme som “both not,” (disse eksempler er også behandlet udførligt i kapitlet), men for at få de rigtige svar til en prøve skal du i første omgang blot efterligne ordbogen.
Hvis du ser ordene “not both”, sætter du altid
~( – ).
Op den anden side, hvis du ser ordene, “både ikke”, oversætter du som
~ – ~ .
Hvis Lisas mor fortalte hende, (måske på grund af hendes karakterer)
“Lisa, hvad angår både fodbold og tennis, kan du ikke spille dem i år.”
Vi oversætter: ~S – ~T
Ofte oplever jeg, at nogle elever ikke bruger ordbogen. I stedet prøver de at tænke sætningen igennem og derefter oversætte. De fortæller mig, at de “bare går til den”. Selv om dette er beundringsværdigt, er det ikke nødvendigt. For alle de grundbegreber, der er anført i ordbogen, er al tænkning allerede gjort. I det første eksempel kunne en studerende sige til sig selv: “Jamen det, moderen siger, er, at hendes datter har for travlt til at spille både fodbold og tennis sammen, men hun kan stadig spille en af dem. Så svaret er ~(S – T), men ikke ~ S – ~ T.”
Det ville være korrekt, men det er nemmere at forstå ordbogens eksempler og derefter bare slå et lignende udsagn op i ordbogen.
For et andet eksempel på, hvordan man bruger ordbogen, så lad os antage, at jeg gav dig sætningen,
“Keoni vil komme på dekanens liste i år, forudsat at han får mindst et 3-tal.5 GPA for semesteret.”
D, forudsat at G.
Studenterne vil ofte også savne sådanne som denne i øvelserne,
“Keoni vil komme på dekanens liste i år, hvis han får mindst et 3.5 GPA for the semester.”
D, hvis G.
For den første ville nummer 21 i ordbogen være det eksempel, der skulle efterlignes, fordi 21 har “forudsat at” midt i en sætning. Dette eksempel viser, at “forudsat at” oversættes på samme måde som nr. 17, når “hvis” står i midten af en sætning. Både 17 og 21 fortæller os, at “hvis” og “forudsat at” oversættes som almindelige “hvis, så”-udsagn, og at det, der følger efter “hvis” eller “forudsat at”, vil være et antecedent.
Så hvis
D = “Keoni kommer på dekanens liste i år”
G = “Keoni får mindst et gennemsnit på 3,5 i dette semester”
så ville svaret være,
G ⊃ D
og ikke
D ⊃ G
Så hvorfor? Sætningen siger i virkeligheden, at hvis han laver G, så får han D.
Studenterne vil også savne:
“Harold kan kun blive en STEM-major, hvis han bliver bedre i matematik.” (S, M)
Nogle elever vil oversætte:
S ≡ M (forkert)
Se nummer 18 i ordbogen. Hvis vi bare efterligner, får vi:
S ⊃ M (se også bemærkningen nedenfor)
Hvorfor? Engelsk. Når vi siger “hvis og kun hvis”, mener vi, at noget både er nødvendigt og tilstrækkeligt. Når vi bruger ‘kun hvis’, siger vi, at noget er nødvendigt.
En person kan kun være gravid, hvis det er en kvinde. (P, F)
P ⊃ F
Nøglebemærkninger til ordbogen
Her er nogle noter, som du kan tilføje i højre margen i ordbogen, der opsummerer de vigtigste pointer fra lærebogen og som vil hjælpe dig med at oversætte korrekt.
#16 “medmindre” = “eller”
#17 “hvis” = antecedent
#18 “kun hvis” = konsevens
#19 “hvis kun” = antecedent
#s 20 & 21 “forudsat at” = “hvis” = antecedent
#22 “nødvendig betingelse” = konsevens
#23 “tilstrækkelig betingelse” = antecedent
Noten til #16 er en påmindelse om, at den nemmeste måde at oversætte “medmindre” på er at fortolke det som et “eller”-udsagn. Bemærkningen til #17 er en påmindelse om, at når man ser “hvis” uden nogen “kun”-modifikator, skal sætningen oversættes som et almindeligt “hvis, så”-udsagn, og det, der følger efter “hvis”, vil være antecedent. Bemærkningen til nr. 18 er en påmindelse om, at et “kun hvis”-udsagn er specielt, og at det, der følger efter et “kun hvis”-udsagn i et udsagn, vil blive oversat som en konsevens. Noterne til nr. 19, 20 og 21 er en påmindelse om, at “hvis kun” og “forudsat at” er det samme som “hvis”. Bemærkningen til nr. 22 er en påmindelse om, at uanset hvad en nødvendig betingelse er i et udsagn, vil den blive oversat som en konsevens. Og noten til nr. 23 er en påmindelse om, at en tilstrækkelig betingelse vil blive oversat som en antecedent.
For at få hjælp til at forstå forskellen mellem nr. 24 og 25 skal du overveje forskellen mellem disse udsagn.
1. Hvis du ikke består den afsluttende eksamen, vil du automatisk bestå kurset.
~F ⊃ C
2. Det er ikke sandt, at hvis du består den afsluttende eksamen, vil du automatisk bestå kurset.
~(F ⊃ C)
Disse udsagn er tydeligvis meget forskellige. Ingen lærer, der er ved sine fulde fem, ville komme med det første udsagn! Men han eller hun kunne måske komme med den anden udtalelse til eleverne for at minde dem om, at der er mere end blot den afsluttende eksamen i kurset. Læg mærke til nøglen til oversættelserne. Hvis ordet “hvis” kommer før et “ikke”, skal du oversætte som i 1. Men hvis “ikke” kommer før “hvis”, bliver hele udsagnet negeret, og du skal oversætte som i 2.
Studenter vil ofte kommentere, at deres hoveder snurrer efter at have læst C7. Husk at det tager tid og øvelse at lære et nyt sprog, men husk også på, at symbolsk logik blev opfundet for at hjælpe os med at holde styr på engelske udsagn, der let kan føre til forvirring og logiske fejl.
Posteringssymboler i e-mail og vores Laulima-diskussionsforum
Selv om de grundlæggende symboler for de logiske konnektiver understøttes af Microsoft Word og Microsofts e-mailprogram Outlook Express, understøttes de normalt ikke af de fleste andre e-mailprogrammer og af det Laulima-program, som vi bruger til vores diskussionsfora (medmindre du ved, hvordan man programmerer i HTML).
Så for at kommunikere resten af semesteret er vi nødt til at foretage et par udskiftninger. Lad os holde det simpelt. Hvis du ikke vil klippe og indsætte symbolerne fra Laulima-meddelelserne, kan du erstatte & med & for ( – ), > for ( ⊃ ) og = for ( ≡ ) . Så kan du blot skrive svarene direkte i et hvilket som helst e-mail-program eller et Laulima-forum, og jeg vil forstå, hvad du mener.
Så for resten af semesteret, medmindre du vil klippe og indsætte, skal du indsende svar til feedback enten via e-mail eller vores diskussionsfora på følgende måde:
ikke = ~
og = &
eller = v
hvis…, så… = >
hvis og kun hvis = =
Så, hvis du havde et svar til eks. III på (A – B) ⊃ ~ C — ville det blive:
(A & B) > ~C
Når vi begynder at lave argumenter, skal vi bruge ( / ) uden de tre prikker til konklusionen. Så bemærk, at svaret til #20, Ex III:
1. ~G ⊃ ~(A v B)
2. G ⊃ (H ⊃ C)
3. (H – E) ⊃ ~C
4. B ⊃ (H – E) / ∴ ~B
Vil skulle posteres som følger:
1. ~G > ~(A v B)
2. G > (H > C)
3. (H & E) > ~C
4. B > (H & E) / ~B