Korrelationskoefficienten mellem to værdier i en tidsserie kaldes autokorrelationsfunktionen (ACF) For eksempel er ACF’en for en tidsserie \(y_t\) givet ved:
\(\begin{equation*} \mbox{Corr}(y_{t},y_{t-k}). \end{equation*}}\)
Denne værdi af k er det tidsgab, der betragtes, og kaldes forsinkelsen. En lag 1-autokorrelation (dvs. k = 1 i ovenstående) er korrelationen mellem værdier, der ligger én tidsperiode fra hinanden. Mere generelt er en lag k autokorrelation korrelationen mellem værdier, der er k tidsperioder fra hinanden.
ACF er en måde at måle den lineære sammenhæng mellem en observation på tidspunkt t og observationerne på tidligere tidspunkter. Hvis vi antager en AR(k)-model, ønsker vi måske kun at måle sammenhængen mellem \(y_{t}\) og \(y_{t-k}\) og filtrere den lineære påvirkning fra de tilfældige variabler, der ligger imellem (dvs. \(y_{t-1},y_{t-2},\ldots,y_{t-(k-1 )}\)), hvilket kræver en transformation af tidsserien. Ved derefter at beregne korrelationen af de transformerede tidsserier får vi den partielle autokorrelationsfunktion (PACF).
PACF’en er mest nyttig til at identificere rækkefølgen af en autoregressiv model. Specifikt indikerer partielle autokorrelationer i stikprøven, der er signifikant forskellige fra 0, forsinkede termer af \(y\), som er nyttige prædiktorer for \(y_{t}\). For at hjælpe med at skelne mellem ACF og PACF kan man tænke på dem som analoger til \(R^{2}\) og partielle \(R^{2}\) værdier som tidligere diskuteret.
Grafiske tilgange til at vurdere forsinkelsen af en autoregressiv model omfatter at se på ACF- og PACF-værdierne i forhold til forsinkelsen. Hvis man i et plot af ACF i forhold til forsinkelsen ser store ACF-værdier og et ikke-tilfældigt mønster, er værdierne sandsynligvis serielt korrelerede. I et plot af PACF i forhold til forsinkelsen vil mønsteret normalt virke tilfældigt, men store PACF-værdier ved en given forsinkelse indikerer, at denne værdi er et muligt valg for rækkefølgen af en autoregressiv model. Det er vigtigt, at valget af rækkefølgen giver mening. Lad os f.eks. antage, at du har blodtryksmålinger for hver dag i de sidste to år. Du finder måske, at en AR(1)- eller AR(2)-model er passende til modellering af blodtrykket. PACF’en kan imidlertid angive en stor partiel autokorrelationsværdi ved en forsinkelse på 17, men en så stor orden for en autoregressiv model giver sandsynligvis ikke meget mening.