De partielle summer af 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ er 1, 3, 7, 15, …; da disse divergerer mod uendelig, gør serien det også.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\displaystyle 2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Derfor giver enhver helt regelmæssig summationsmetode en sum i uendelighed, herunder Cesàro-summen og Abel-summen. På den anden side er der mindst én generelt anvendelig metode, der summerer 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ til den finitte værdi af -1. Den tilhørende potenserie
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}}
har en konvergensradius omkring 0 på kun 1/2, så den konvergerer ikke ved x = 1. Ikke desto mindre har den således definerede funktion f en unik analytisk fortsættelse til det komplekse plan med punktet x = 1/2 slettet, og den er givet ved den samme regel f(x) = 1/1 – 2x. Da f(1) = -1, siges den oprindelige serie 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ at være summérbar (E) til -1, og -1 er seriens (E)-sum. (Notationen skyldes G. H. Hardy med henvisning til Leonhard Eulers tilgang til divergerende serier).
En næsten identisk tilgang (den, der blev anvendt af Euler selv) er at betragte de potenserier, hvis koefficienter alle er 1, dvs.e.
1 + y + y 2 + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y+y^{{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}}}
og sætte y = 2 ind. Disse to serier hænger sammen ved substitutionen y = 2x.
Det forhold, at (E)-summationen tildeler en endelig værdi til 1 + 2 + 4 + 8 + … viser, at den generelle metode ikke er helt regelmæssig. På den anden side besidder den nogle andre ønskværdige egenskaber for en summationsmetode, herunder stabilitet og linearitet. Disse to sidstnævnte aksiomer tvinger faktisk summen til at være -1, da de gør følgende manipulation gyldig:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}}}
I en nyttig forstand er s = ∞ en rod til ligningen s = 1 + 2s. (For eksempel er ∞ et af de to faste punkter for Möbius-transformationen z → 1 + 2z på Riemann-sfæren). Hvis man ved, at en eller anden summationsmetode giver et almindeligt tal for s, dvs. ikke ∞, så er det let at bestemme det. I dette tilfælde kan s trækkes fra begge sider af ligningen, hvilket giver 0 = 1 + s, så s = -1.
Overstående manipulation kan måske påberåbes for at producere -1 uden for rammerne af en tilstrækkelig kraftig summationsprocedure. For de mest kendte og ukomplicerede summationsbegreber, herunder det grundlæggende konvergerende, er det absurd, at en serie af positive termer kunne have en negativ værdi. Et lignende fænomen forekommer med den divergerende geometriske serie 1 – 1 + 1 – 1 – 1 + ⋯, hvor en serie af hele tal tilsyneladende har den ikke-integrale sum 1/2. Disse eksempler illustrerer den potentielle fare ved at anvende lignende argumenter på de serier, der er impliceret af sådanne tilbagevendende decimaler som 0,111 … og især 0,999…. Argumenterne er i sidste ende berettigede for disse konvergerende serier, idet de indebærer, at 0,111… = 1/9 og 0,999… = 1, men de underliggende beviser kræver nøje overvejelser om fortolkningen af uendelige summer.
Det er også muligt at betragte disse serier som konvergerende i et andet talsystem end de reelle tal, nemlig de 2-adiske tal. Som en serie af 2-adiske tal konvergerer denne serie til den samme sum, -1, som blev udledt ovenfor ved analytisk fortsættelse.