Dílčí součty 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ jsou 1, 3, 7, 15, …; protože se rozcházejí do nekonečna, rozchází se i řada.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\displaystyle 2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Každá zcela regulární sumační metoda tedy dává součet do nekonečna, včetně Cesarova součtu a Abelova součtu. Na druhou stranu existuje alespoň jedna obecně užitečná metoda, která sčítá 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ až do konečné hodnoty -1. Související mocninná řada
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}.
má poloměr konvergence kolem 0 pouze 1/2, takže nekonverguje při x = 1. Nicméně takto definovaná funkce f má jedinečné analytické pokračování do komplexní roviny s vypuštěným bodem x = 1/2 a je dána stejným pravidlem f(x) = 1/1 – 2x. Protože f(1) = -1, říká se, že původní řada 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ je sumovatelná (E) do -1 a -1 je (E) součtem této řady. (Zápis je zásluhou G. H. Hardyho v odkazu na přístup Leonharda Eulera k divergentním řadám).
Téměř totožný přístup (ten, který použil sám Euler) je uvažovat mocninné řady, jejichž koeficienty jsou všechny 1, tj.Tedy
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}}.
a zapojení y = 2. Tyto dvě řady spolu souvisí substitucí y = 2x.
To, že (E) sčítání přiřazuje konečnou hodnotu 1 + 2 + 4 + 8 + …, ukazuje, že obecná metoda není zcela regulární. Na druhou stranu má některé další pro součtovou metodu žádoucí vlastnosti, včetně stability a linearity. Tyto dva poslední axiomy vlastně nutí součet být -1, protože díky nim platí následující manipulace:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}}
V užitečném smyslu je s = ∞ kořen rovnice s = 1 + 2s. (Například ∞ je jeden ze dvou pevných bodů Möbiovy transformace z → 1 + 2z na Riemannově sféře). Pokud je známa nějaká sumační metoda, která pro s vrací obyčejné číslo, tj. ne ∞, pak je snadno určitelná. V takovém případě lze s odečíst od obou stran rovnice, čímž získáme 0 = 1 + s, takže s = -1.
Výše uvedená manipulace by mohla být vyvolána k získání -1 mimo kontext dostatečně výkonné sumační procedury. Pro nejznámější a nejjednodušší součtové koncepty, včetně základního konvergentního, je absurdní, že by řada kladných členů mohla mít zápornou hodnotu. Podobný jev nastává u divergentní geometrické řady 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯, kde se zdá, že řada celých čísel má neceločíselný součet 1/2. Tyto příklady ilustrují potenciální nebezpečí při použití podobných argumentů na řady implikované takovými opakujícími se desetinnými čísly, jako je 0,111… a především 0,999….. Argumenty jsou pro tyto konvergentní řady nakonec oprávněné, protože implikují, že 0,111… = 1/9 a 0,999… = 1, ale základní důkazy vyžadují pečlivé přemýšlení o interpretaci nekonečných součtů.
Na tuto řadu je také možné pohlížet jako na konvergentní v číselné soustavě odlišné od reálných čísel, konkrétně v 2-adických číslech. Jako řada 2-adických čísel tato řada konverguje ke stejnému součtu, -1, jaký byl odvozen výše analytickým pokračováním.