Arta rezolvării problemelor

O ecuație diofantină este o ecuație care relaționează cuanitități întregi (sau uneori numere naturale sau numere întregi).

Căutarea soluției sau soluțiilor unei ecuații diofantine este strâns legată de aritmetica modulară și de teoria numerelor. Adesea, atunci când o ecuație diofantină are un număr infinit de soluții, se folosește forma parametrică pentru a exprima relația dintre variabilele ecuației.

Ecuațiile diofantine sunt denumite după numele matematicianului antic grec/alexandrian Diophantus.

Combinație liniară

O ecuație diofantină de forma este cunoscută ca o combinație liniară. Dacă două numere întregi relativ prime și sunt scrise în această formă cu , ecuația va avea un număr infinit de soluții. Mai general, va exista întotdeauna un număr infinit de soluții atunci când . Dacă , atunci nu există soluții ale ecuației. Pentru a vedea de ce, luați în considerare ecuația . este un divizor al LHS (observați, de asemenea, că trebuie să fie întotdeauna un număr întreg). Cu toate acestea, nu va fi niciodată un multiplu al lui , prin urmare, nu există soluții.

Considerăm acum cazul în care . Astfel, . Dacă și sunt relativ prime, atunci toate soluțiile sunt în mod evident de forma pentru toți numerele întregi . Dacă nu sunt, pur și simplu le împărțim cu cel mai mare divizor comun al lor.

Triple pitagoreice

Articol principal: Triplu pitagoreic

Un triplu pitagoreic este un set de trei numere întregi care satisfac Teorema lui Pitagora, . Există trei metode principale de găsire a triplelor pitagoreice:

Metoda lui Pitagora

Dacă este un număr impar, atunci este un triplu pitagoreic.

Metoda lui Platon

Dacă , este un triplu pitagoreic.

Metoda babiloniană

Pentru orice , avem este o triplă pitagoreică.

Suma puterilor a patra

O ecuație de forma nu are soluții întregi, după cum urmează: Presupunem că ecuația are soluții întregi și considerăm soluția care minimizează . Fie această soluție . Dacă , atunci GCD-ul lor trebuie să fie . Soluția ar fi atunci o soluție mai mică decât , ceea ce contrazice ipoteza noastră. Așadar, această ecuație nu are soluții întregi.

Dacă , procedăm atunci cu cazuistica, în .

Rețineți că fiecare pătrat, și deci fiecare putere a patra, este fie , fie . Dovada acestui lucru este destul de simplă și o puteți demonstra singur.

Cazul 1:

Aceasta ar implica , o contradicție.

Cazul 2:

Aceasta ar implica , o contradicție, deoarece am presupus .

Cazul 3: , și

Știm, de asemenea, că pătratele sunt fie , fie . Astfel, toate puterile a patra sunt fie , fie .

Prin abordare similară, arătăm că:

, deci .

Este o contradicție, deoarece implică faptul că este impar, iar implică faptul că este par. QED

Ecuațiile lui Pell

Articol principal: Ecuația Pell

O ecuație Pell este un tip de ecuație diofantină de forma pentru numărul natural . Soluțiile ecuației Pell atunci când nu este un pătrat perfect sunt legate de expansiunea fracției continue a lui . Dacă este perioada fracției continue și este al lea convergent, toate soluțiile ecuației Pell sunt de forma pentru numărul întreg pozitiv .

Metode de rezolvare

Planul de coordonate

Rețineți că orice combinație liniară poate fi transformată în ecuația liniară , care este doar ecuația de intersecție a pantei pentru o dreaptă. Soluțiile ecuației dihotomice corespund punctelor rețelei care se află pe dreaptă. De exemplu, considerați ecuația sau . O soluție este (0,1). Dacă reprezentați grafic linia, este ușor de observat că linia intersectează un punct de rețea pe măsură ce x și y cresc sau scad cu același multiplu de și, respectiv, (formulare?). Prin urmare, soluțiile ecuației se pot scrie parametric (dacă ne gândim la ca la un „punct de plecare”).

Aritmetica modulară

Câteodată, aritmetica modulară poate fi folosită pentru a demonstra că nu există soluții la o anumită ecuație diofantină. Mai precis, dacă arătăm că ecuația în cauză nu este niciodată adevărată mod , pentru un anumit număr întreg , atunci am demonstrat că ecuația este falsă. Cu toate acestea, această tehnică nu poate fi folosită pentru a demonstra că există soluții la o ecuație diofantină.

Inducție

Când au fost găsite câteva soluții, se poate folosi inducția pentru a găsi o familie de soluții. Tehnici precum descinderea infinită pot arăta, de asemenea, că nu există soluții pentru o anumită ecuație sau că nu există soluții în afara unei anumite familii.

Soluții generale

Este firesc să ne întrebăm dacă există o soluție generală pentru ecuațiile diofantine, adică un algoritm care va găsi soluțiile pentru orice ecuație diofantină dată. Aceasta este cunoscută sub numele de a zecea problemă a lui Hilbert. Răspunsul, însă, este nu.

Ultima Teoremă a lui Fermat

Articol principal: Ultima Teoremă a lui Fermat

este cunoscută ca Ultima Teoremă a lui Fermat pentru condiția . În anii 1600, Fermat, în timp ce lucra la o carte despre ecuațiile diofantine, a scris pe margine un comentariu de genul: „Am o demonstrație cu adevărat minunată a acestei propoziții pe care această margine este prea îngustă pentru a o conține”. Fermat a făcut, de fapt, multe conjecturi și a propus o mulțime de „teoreme”, dar nu era genul care să scrie demonstrațiile sau multe alte lucruri în afară de comentarii mâzgălite. După ce a murit, toate conjecturile sale au fost dovedite din nou (fie false, fie adevărate), cu excepția ultimei Teoreme a lui Fermat. După mai bine de 350 de ani în care nu a reușit să fie demonstrată, teorema a fost în cele din urmă demonstrată de Andrew Wiles, după ce a petrecut peste 7 ani lucrând la demonstrația de 200 de pagini și încă un an reparând o eroare din demonstrația originală.

Probleme

Introducere

Doi fermieri sunt de acord că porcii valorează dolari și că caprele valorează dolari. Când un fermier îi datorează celuilalt bani, el plătește datoria în porci sau capre, „restul” fiind primit sub formă de capre sau porci, după caz. (De exemplu, o datorie de dolari poate fi plătită cu doi porci, cu o capră primită în rest). Care este valoarea celei mai mici datorii pozitive care poate fi rezolvată în acest mod?