Există 3 operații de bază utilizate pe rândurile unei matrice atunci când se utilizează matricea pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare. Scopul este, de obicei, de a face ca partea stângă a matricei să arate ca matricea identitate .
Cele trei operații sunt:
- Comutarea rândurilor
- Înmulțirea unui rând cu un număr
- Adăugarea rândurilor
Comutarea rândurilor
Puteți comuta rândurile unei matrice pentru a obține o nouă matrice.
→
În exemplul prezentat mai sus, mutăm rândul 1 în rândul 2 , rândul 2 în rândul 3 , iar rândul 3 în rândul 1 . (Motivul pentru care facem acest lucru este acela de a obține un 1 în colțul din stânga sus.)
Înmulțirea unui rând cu un număr
Puteți înmulți orice rând cu un număr. (Aceasta înseamnă să înmulțiți fiecare intrare din rând cu același număr.)
→ R 3 : 1 3 R 3
În acest exemplu, am înmulțit rândul 3 al matricei cu 1 3 . (Acest lucru ne dă 1-ul de care avem nevoie în rândul 3 , coloana 3 .)
Adăugarea rândurilor
Puteți, de asemenea, să adunați două rânduri împreună și să înlocuiți un rând cu rezultatul.
De exemplu, în matricea care a rezultat în ultimul exemplu, putem aduna rândurile 2 și 3 împreună, intrare cu intrare:
+ _
Apoi, înlocuim rândul 2 cu rezultatul.
→ R 2 : R 2 + R 3
Adăugarea multiplilor de rânduri
Am spus că sunt doar trei operații, și sunt. Dar, folosind ultimele două operații în combinație, putem adăuga multipli întregi de rânduri la alte rânduri, pentru a face lucrurile să meargă mai repede.
Înapoi cu un pas, deci avem matricea:
Acum, în loc de a adăuga doar rândul 2 + rândul 3 , adăugați rândul 2 + ( 2 × rândul 3 ) :
+ _
Apoi înlocuiți rândul 2 cu rezultatul.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
În acest fel, obținem un 0 în rândul 2 , coloana 3 .
Putem face acest lucru din nou pentru a obține un 0 în rândul 2 , coloana 1 . Aici, înmulțim Rândul 1 cu – 2 , îl adăugăm Rândul 2 , și înlocuim Rândul 2 cu rezultatul.
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
Vom mai arăta câțiva pași, pentru a obține matricea identitară 3 × 3 din stânga (și astfel să rezolvăm sistemul).
Următorul pas este să adunăm rândul 2 + ( 4 × rândul 3 ) pentru a obține un 0 în rândul 2 , coloana 3 .
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
În continuare, avem nevoie de un zero în rândul 1 , coloana 3 .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
Ultimul pas este doar o aplicare a celei de-a doua operații, înmulțirea unui rând cu un număr.
→ 1 3 R 3
Avem acum soluția ca triplă ordonată ( 1 , 0 , – 2 ) .
Notă importantă: Dacă ecuațiile reprezentate de matricea originală reprezintă linii identice sau paralele, nu veți putea obține matricea identitate folosind aceste operații pe rând. În acest caz, soluția fie nu există, fie există un număr infinit de soluții ale sistemului.