Pentru o demonstrație completă, vezi articolul reciprocitate (electromagnetism). Prezentăm aici o demonstrație simplă obișnuită, limitată la aproximația a două antene separate de o distanță mare față de dimensiunea antenei, într-un mediu omogen. Prima antenă este antena de test ale cărei modele urmează să fie investigate; această antenă este liberă să fie orientată în orice direcție. A doua antenă este o antenă de referință, care este orientată rigid spre prima antenă.
Care antenă este conectată alternativ la un emițător cu o anumită impedanță de sursă și la un receptor cu aceeași impedanță de intrare (impedanța poate fi diferită între cele două antene).
Se presupune că cele două antene sunt suficient de îndepărtate pentru ca proprietățile antenei de emisie să nu fie afectate de sarcina pe care i-o aplică antena de recepție. În consecință, cantitatea de putere transferată de la emițător la receptor poate fi exprimată ca produsul a doi factori independenți; unul depinzând de proprietățile direcționale ale antenei de emisie, iar celălalt depinzând de proprietățile direcționale ale antenei de recepție.
Pentru antena de emisie, prin definiția câștigului, G {\displaystyle G}
, densitatea de putere de radiație la o distanță r {\displaystyle r}
de la antenă (adică puterea care trece prin unitatea de suprafață) este W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\displaystyle \mathrm {W} (\theta ,\Phi )={\frac {\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}}P_{t}}
.
Aici, unghiurile θ {\displaystyle \theta }
și Φ {\displaystyle \Phi }
indică o dependență de direcția față de antenă, iar P t {\displaystyle P_{t}}
reprezintă puterea pe care emițătorul ar trebui să o furnizeze într-o sarcină adaptată. Câștigul G {\displaystyle G}
poate fi împărțit în trei factori: câștigul antenei (redistribuirea direcțională a puterii), eficiența de radiație (ținând cont de pierderile ohmice din antenă) și, în cele din urmă, pierderea datorată nepotrivirii dintre antenă și emițător. În mod strict, pentru a include nepotrivirea, ar trebui să se vorbească de câștigul realizat, dar aceasta nu este o utilizare obișnuită.
Pentru antena de recepție, puterea livrată la receptor este
P r = A ( θ , Φ ) W {\displaystyle P_{r}=\mathrm {A} (\theta ,\Phi )W\,}
.
Aici W {\displaystyle W}
este densitatea de putere a radiației incidente, iar A {\displaystyle A}
este deschiderea antenei sau suprafața efectivă a antenei (suprafața pe care ar trebui să o ocupe antena pentru a intercepta puterea captată observată). Argumentele direcționale sunt acum relative la antena de recepție și, din nou, A {\displaystyle A}
este luată în considerare pentru a include pierderile ohmice și de nepotrivire.
Punând aceste expresii împreună, puterea transferată de la emițător la receptor este
P r = A G 4 π r 2 P t {\displaystyle P_{r}=A{\frac {G}{4\pi r^{2}}}}P_{t}}.
,
unde G {\displaystyle G}
și A {\displaystyle A}
sunt proprietăți dependente de direcție ale antenelor de emisie și, respectiv, de recepție. Pentru transmisia de la antena de referință (2) la antena de test (1), adică P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}}. (\theta ,\Phi ){\frac {G_{2}}}{4\pi r^{2}}}}P_{2t}}
,
și pentru transmisia în sens opus
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {\displaystyle P_{2r}=A_{2}{{2}{\frac {\mathrm {G_{1}}} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}}P_{1t}}
.
Aici, câștigul G 2 {\displaystyle G_{2}}
și aria efectivă A 2 {\displaystyle A_{2}}
a antenei 2 sunt fixe, deoarece orientarea acestei antene este fixă în raport cu prima.
Acum, pentru o anumită dispunere a antenelor, teorema reciprocității cere ca transferul de putere să fie la fel de eficient în fiecare direcție, adică:
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {\displaystyle {\frac {P_{1r}}{P_{2t}}}={\frac {P_{2r}}{P_{1t}}}}
,
de unde
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}} {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}={\frac {A_{2}}}{G_{2}}}}
.
Dar partea dreaptă a acestei ecuații este fixă (deoarece orientarea antenei 2 este fixă), și astfel
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}=\mathrm {constant} }
,
adică dependența direcțională a deschiderii efective (de recepție) și a câștigului (de emisie) sunt identice (QED). În plus, constanta de proporționalitate este aceeași indiferent de natura antenei și, prin urmare, trebuie să fie aceeași pentru toate antenele. Analiza unei anumite antene (cum ar fi un dipol hertzian) arată că această constantă este λ 2 4 π {\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}}{4\pi }}}.
, unde λ {\displaystyle \lambda }
este lungimea de undă în spațiul liber. Prin urmare, pentru orice antenă, câștigul și deschiderea efectivă sunt legate de A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {\displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )={\frac {\lambda ^{2}\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi }}}}
.
Inclusiv pentru o antenă de recepție, este mai obișnuit să se precizeze câștigul decât să se specifice deschiderea efectivă. Prin urmare, puterea livrată receptorului se scrie de obicei sub forma
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {\displaystyle P_{r}={\frac {\lambda ^{2}G_{r}G_{t}}{(4\pi r)^{2}}}}P_{t}}}.
(vezi link buget). Deschiderea efectivă este totuși interesantă pentru comparație cu dimensiunea fizică reală a antenei.
Consecințe practiceEdit
- Când se determină diagrama unei antene de recepție prin simulare pe calculator, nu este necesar să se efectueze un calcul pentru fiecare unghi de incidență posibil. În schimb, diagrama de radiație a antenei se determină printr-o singură simulare, iar diagrama de recepție se deduce prin reciprocitate.
- Când se determină diagrama unei antene prin măsurători, antena poate fi fie de recepție, fie de emisie, după cum este mai convenabil.
- Pentru o antenă practică, nivelul lobului lateral trebuie să fie minim, este necesar să aibă o directivitate maximă.