Un inel în sens matematic este un ansamblu 
împreună cu doi operatori binari 
și 
(interpretați în mod obișnuit ca adunare și, respectiv, înmulțire) care satisfac următoarele condiții:
1. Asociativitatea aditivă: Pentru toate 
, 
,
2. Comutativitatea aditivă: Pentru toate 
, 
,
3. Identitate aditivă: Există un element 
astfel încât pentru toate 
, 
,
4. Inversul aditiv: Pentru orice 
există 
astfel încât 
,
5. Distributivitatea stângă și dreaptă: Pentru toate 
, 
și 
,
6. Asociativitatea multiplicativă: Pentru toate 
, 
(un inel care satisface această proprietate este uneori denumit în mod explicit inel asociativ).
Condițiile 1-5 sunt întotdeauna necesare. Deși există inele neasociative, practic toate textele impun și condiția 6 (Itô 1986, pp. 1369-1372; p. 418; Zwillinger 1995, pp. 141-143; Harris și Stocker 1998; Knuth 1998; Korn și Korn 2000; Bronshtein și Semendyayev 2004).
Inelele pot satisface, de asemenea, diverse condiții opționale:
7. Comutativitatea multiplicativă: Pentru toate 
, 
(un inel care satisface această proprietate se numește inel comutativ),
8. Identitate multiplicativă: Există un element 
astfel încât pentru toate 
, 
(un inel care satisface această proprietate se numește inel unitar sau, uneori, „inel cu identitate”),
9. Inversa multiplicativă: Pentru fiecare 
din 
, există un element 
astfel încât pentru toate 
, 
, unde 1 este elementul identitate.
Un inel care satisface toate proprietățile suplimentare 6-9 se numește câmp, în timp ce unul care satisface numai proprietățile suplimentare 6, 8 și 9 se numește algebră de diviziune (sau câmp înclinat).
Câțiva autori se abat de la convenția normală și cer (conform definiției lor) ca un inel să includă proprietăți suplimentare. De exemplu, Birkhoff și Mac Lane (1996) definesc că un inel trebuie să aibă o identitate multiplicativă (adică proprietatea 8).
Există o serie de exemple de inele cărora le lipsesc anumite condiții:
1. Fără asociativitate multiplicativă (uneori numite și algebre neasociative): octonioni, OEIS A037292,
2. Fără comutativitate multiplicativă: Matrici 
cu valori reale, quaternioni,
3. Fără identitate multiplicativă: Întregi cu valoare pară,
4. Fără inversă multiplicativă: numere întregi.
Cuvântul inel este prescurtarea cuvântului german „Zahlring” (inel de numere). Cuvântul francez pentru inel este anneau, iar cuvântul german modern este Ring, ambele însemnând (nu atât de surprinzător) „inel”. Fraenkel (1914) a dat prima definiție abstractă a inelului, deși această lucrare nu a avut un impact prea mare. Termenul a fost introdus de Hilbert pentru a descrie inele precum
Prin multiplicarea succesivă a elementului nou 
, acesta se învârte în cele din urmă pentru a deveni ceva deja generat, ceva asemănător cu un inel, adică 
este nou, dar 
este un număr întreg. Toate numerele algebrice au această proprietate, de exemplu, 
satisface 
.
Un inel trebuie să conțină cel puțin un element, dar nu este necesar să conțină o identitate multiplicativă sau să fie comutativ. Numărul de inele finite de 
elemente pentru 
, 2, …, sunt 1, 2, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 22, 2, 4, 4, 4, …, … (OEIS A027623 și A037234; Fletcher 1980). Dacă 
și 
sunt prime, există două inele de mărime 
, patru inele de mărime 
, 11 inele de mărime 
(Singmaster 1964, Dresda), 22 de inele de mărime 
, 52 de inele de mărime 
pentru 
și 53 de inele de mărime 
pentru 
(Ballieu 1947, Gilmer și Mott 1973; Dresda).
Un inel care este comutativ la înmulțire, are un element unitate și nu are divizori de zero se numește domeniu integral. Un inel ale cărui elemente care nu sunt egale cu zero formează un grup comutativ de înmulțire se numește câmp. Cele mai simple inele sunt numerele întregi 
, polinoamele 
și 
în una și două variabile și matricile reale pătrate 
.
Inelele care au fost investigate și care s-au dovedit a fi de interes sunt de obicei denumite după unul sau mai mulți dintre cercetătorii lor. Această practică duce, din păcate, la nume care oferă foarte puține informații despre proprietățile relevante ale inelelor asociate.
Renteln și Dundes (2005) prezintă următoarea glumă matematică (proastă) despre inele:
Q: Ce este un grup abelian sub adiție, închis,asociativ, distributiv și care poartă un blestem? R: Inelul lui Nibelung.