Sumele parțiale ale lui 1 + 2 + 4 + 4 + 8 + ⋯ sunt 1, 3, 7, 15, …; cum acestea divergesc la infinit, la fel și seria.
2 0 + 2 1 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\displaystyle 2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Prin urmare, orice metodă de adunare total regulată dă o sumă la infinit, inclusiv suma Cesàro și suma Abel. Pe de altă parte, există cel puțin o metodă general utilă care însumează 1 + 2 + 4 + 4 + 8 + ⋯ la valoarea finită -1. Seria de puteri asociată
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}.
are o rază de convergență în jurul lui 0 de numai 1/2, deci nu converge la x = 1. Cu toate acestea, funcția f astfel definită are o continuare analitică unică în planul complex cu punctul x = 1/2 eliminat, și este dată de aceeași regulă f(x) = 1/1 – 2x. Deoarece f(1) = -1, se spune că seria originală 1 + 2 + 4 + 4 + 8 + ⋯ este sumabilă (E) la -1, iar -1 este suma (E) a seriei. (Notația se datorează lui G. H. Hardy cu referire la abordarea lui Leonhard Euler privind seriile divergente).
O abordare aproape identică (cea adoptată de Euler însuși) este de a considera seriile de puteri ai căror coeficienți sunt toți 1, i.e.
1 + y + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1}{1-y}}}}.
și introducând y = 2. Aceste două serii sunt legate între ele prin substituția y = 2x.
Faptul că însumarea (E) atribuie o valoare finită lui 1 + 2 + 4 + 8 + … arată că metoda generală nu este total regulată. Pe de altă parte, ea posedă alte câteva calități dezirabile pentru o metodă de însumare, inclusiv stabilitatea și liniaritatea. Aceste ultime două axiome forțează, de fapt, ca suma să fie -1, deoarece ele fac valabilă următoarea manipulare:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+8+16+\cdots \\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}}}
Într-un sens util, s = ∞ este o rădăcină a ecuației s = 1 + 2s. (De exemplu, ∞ este unul dintre cele două puncte fixe ale transformării Möbius z → 1 + 2z pe sfera Riemann). Dacă se știe că o anumită metodă de adunare returnează un număr obișnuit pentru s, adică nu ∞, atunci acesta este ușor de determinat. În acest caz, s poate fi sustras din ambele părți ale ecuației, rezultând 0 = 1 + s, deci s = -1.
Manipularea de mai sus ar putea fi apelată pentru a produce -1 în afara contextului unei proceduri de însumare suficient de puternice. Pentru cele mai cunoscute și mai simple concepte de sumă, inclusiv cel fundamental convergent, este absurd ca o serie de termeni pozitivi să poată avea o valoare negativă. Un fenomen similar apare cu seria geometrică divergentă 1 – 1 + 1 + 1 – 1 + ⋯, unde o serie de numere întregi pare să aibă suma neintegrală 1/2. Aceste exemple ilustrează pericolul potențial în aplicarea unor argumente similare la seriile implicate de zecimale recurente precum 0,111… și mai ales 0,999…. Argumentele sunt în cele din urmă justificate pentru aceste serii convergente, implicând că 0,111… = 1/9 și 0,999… = 1, dar dovezile care stau la baza lor necesită o gândire atentă cu privire la interpretarea sumelor nesfârșite.
Este, de asemenea, posibil să se considere această serie ca fiind convergentă într-un sistem de numere diferit de cel al numerelor reale, și anume, numerele 2-adice. Ca o serie de numere 2-adice, această serie converge la aceeași sumă, -1, așa cum a fost derivată mai sus prin continuarea analitică.