Art of Problem Solving | Tomas Rosprim

Uma equação de Diophantine é uma equação que relaciona números inteiros (ou às vezes números naturais ou números inteiros) com quantis.

A busca da solução ou soluções para uma equação de Diophantine está intimamente ligada à aritmética modular e à teoria dos números. Muitas vezes, quando uma equação de Diophantine tem infinitas soluções, a forma paramétrica é usada para expressar a relação entre as variáveis da equação.

Equações de Diophantine são nomeadas para o antigo matemático grego/lexandriano Diophantus.

Linear Combination

Uma equação de Diophantine na forma é conhecida como uma combinação linear. Se dois inteiros relativamente primos e forem escritos nesta forma com , a equação terá um número infinito de soluções. Mais geralmente, sempre haverá um número infinito de soluções quando . Se , então não há soluções para a equação. Para ver porquê, considere a equação . é um divisor do LHS (note também que deve ser sempre um número inteiro). Contudo, nunca será um múltiplo de , portanto, não existem soluções.

Agora considere o caso em que . Assim, . Se e são relativamente primos, então todas as soluções estão obviamente na forma de para todos os números inteiros . Se não forem, nós simplesmente as dividimos pelo seu maior divisor comum.

Triplos pitagóricos

Artigo principal: Trio pitagórico

Um trio pitagórico é um conjunto de três inteiros que satisfazem o teorema pitagórico, . Existem três métodos principais para encontrar triplos pitágoricos:

Método de Pitágoras

Se é um número ímpar, então é um triplo pitágorico.

Método de Platão

Se , é um triplo pitágorico.

Método da Babilónia

Para qualquer , temos é um trio pitagórico.

Soma dos Quarto Poderes

Uma equação de forma não tem soluções inteiras, como se segue:Assumimos que a equação tem soluções inteiras, e consideramos a solução que minimiza . Que esta solução seja . Se então o seu GCD tem de se sitsificar . A solução seria então uma solução menor do que , o que contradiz a nossa suposição. Assim, esta equação não tem soluções inteiras.

Se , procedemos então com o trabalho de caso, em .

Nota que cada quadrado, e portanto cada quarta potência, ou é ou . A prova disto é bastante simples, e você mesmo pode mostrá-lo.

Caso 1:

Isto implicaria , uma contradição.

Caso 2:

Isso implicaria , uma contradição já que assumimos .

Caso 3: , e

Também sabemos que os quadrados são ou ou . Assim, todas as quarto potências são ou ou .

Por uma abordagem semelhante, mostramos que:

, portanto .

Esta é uma contradição, pois implica é estranho, e implica é par. QED

Equações de Pell

Artigo principal: Equação de Pell

Uma equação de Pell é um tipo de equação de Diophantine na forma para número natural . As soluções para a equação de Pell quando não é um quadrado perfeito estão ligadas à expansão contínua da fração de . Se for o período da fração contínua e for a convergente, todas as soluções para a equação de Pell estão na forma para número inteiro positivo .

Métodos de resolução

Plano de coordenadas

Note que qualquer combinação linear pode ser transformada na equação linear , que é apenas a equação de intercepção de inclinação para uma linha. As soluções para a equação de diophantine correspondem a pontos da malha que se encontram na linha. Por exemplo, considere a equação ou . Uma solução é (0,1). Se você graficar a linha, é fácil ver que a linha intersecta um ponto da malha como x e y aumenta ou diminui pelo mesmo múltiplo de e , respectivamente (redação?). Portanto, as soluções para a equação podem ser escritas parametricamente (se pensarmos em como um “ponto de partida”).

Aritmética Modular

Por vezes, a aritmética modular pode ser usada para provar que não existem soluções para uma dada equação de Diophantine. Especificamente, se mostrarmos que a equação em questão nunca é verdadeira mod , para algum número inteiro , então mostramos que a equação é falsa. Entretanto, esta técnica não pode ser usada para mostrar que soluções para uma equação de Diophantine existem.

Indução

Por vezes, quando algumas soluções foram encontradas, a indução pode ser usada para encontrar uma família de soluções. Técnicas como a descida infinita também podem mostrar que não existem soluções para uma equação particular, ou que não existem soluções fora de uma família particular.

Soluções Gerais

É natural perguntar se existe uma solução geral para equações de Diophantine, ou seja, um algoritmo que encontrará as soluções para qualquer equação de Diophantine em particular. Este é conhecido como o décimo problema de Hilbert. A resposta, entretanto, é no.

O último teorema de Fermat

Artigo principal: O Último Teorema de Fermat

é conhecido como o Último Teorema de Fermat para a condição . Nos anos 1600, Fermat, enquanto trabalhava através de um livro sobre Equações Diofantinas, escreveu um comentário nas margens com o efeito de “Tenho uma prova verdadeiramente maravilhosa desta proposta que esta margem é demasiado estreita para conter”. Fermat realmente fez muitas conjecturas e propôs muitos “teoremas”, mas não foi um para escrever as provas ou muito mais do que comentários rabiscados. Após a sua morte, todas as suas conjecturas foram provadas de novo (falsas ou verdadeiras), exceto o último teorema de Fermat. Depois de mais de 350 anos sem ser provado, o teorema foi finalmente provado por Andrew Wiles depois de passar mais de 7 anos trabalhando na prova de 200 páginas, e mais um ano corrigindo um erro na prova original.

Problemas

Introduto

Dois agricultores concordam que os porcos valem dólares e que as cabras valem dólares. Quando um fazendeiro deve o outro dinheiro, ele paga a dívida em suínos ou caprinos, com “troco” recebido na forma de caprinos ou suínos, conforme necessário. (Por exemplo, uma dívida de dólares poderia ser paga com dois porcos, com um cabrito recebido em troco). Qual é o valor da menor dívida positiva que pode ser resolvida desta forma?