Para uma prova completa, veja o artigo sobre reciprocidade (eletromagnetismo). Aqui, apresentamos uma prova simples comum limitada à aproximação de duas antenas separadas por uma grande distância em relação ao tamanho da antena, em um meio homogêneo. A primeira antena é a antena de teste cujos padrões devem ser investigados; esta antena é livre para apontar em qualquer direção. A segunda antena é uma antena de referência, que aponta rigidamente para a primeira antena.
Cada antena é ligada alternadamente a um transmissor com uma impedância de fonte particular, e um receptor com a mesma impedância de entrada (a impedância pode diferir entre as duas antenas).
Presume-se que as duas antenas estão suficientemente distantes que as propriedades da antena transmissora não são afetadas pela carga colocada sobre ela pela antena receptora. Consequentemente, a quantidade de energia transferida do transmissor para o receptor pode ser expressa como o produto de dois fatores independentes; um dependendo das propriedades direcionais da antena transmissora, e o outro dependendo das propriedades direcionais da antena receptora.
Para a antena transmissora, pela definição de ganho, G {\displaystyle G}
, a densidade da potência de radiação a uma distância r {\i1}displaystyle r
da antena (ou seja, a potência que passa pela área da unidade) é W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\i1}displaystyle {\i}mathrm {W} (Theta ,Phi )={\an1}frac {\an1}mathrm (Theta ,Phi )4pi r^{2}}P_{t}}P_{t}
.
Aqui, os ângulos θ {\an8}displaystyle {\an8}theta
e Φ {\\i1}displaystyle
indicam uma dependência da direcção da antena, e P t {\i1}displaystyle P_{t}}
representa a potência que o transmissor entregaria em uma carga compatível. O ganho G {\\i1}estilo G {\i}
podem ser divididos em três fatores; o ganho da antena (a redistribuição direcional da potência), a eficiência de radiação (responsável pelas perdas óhmicas na antena) e, por último, a perda devido ao desajuste entre a antena e o transmissor. Estritamente, para incluir o descasamento, deve ser chamado de ganho realizado, mas este não é um uso comum.
Para a antena receptora, a potência entregue ao receptor é
P r = A ( θ , Φ ) W {\i1}displaystyle P_{r}=\mathrm {A} (Theta ,Phi )W,}
.
Estávamos no estilo W{\a10}
é a densidade de potência da radiação incidente, e A {\i1}displaystyle A
é a abertura da antena ou área efetiva da antena (a área que a antena precisaria ocupar para interceptar a potência capturada observada). Os argumentos direcionais são agora relativos à antena receptora, e novamente A {\i}
é tomado para incluir as perdas óhmicas e de desajuste.
Juntando estas expressões, a potência transferida do transmissor para o receptor é
P r = A G 4 π r 2 P t {\displaystyle P_{r}=A{\frac {\pi r^{2}}}P_{t}}
,
onde G {\i1}displaystyle G
e A {\i1}displaystyle A
são propriedades dependentes da direção das antenas transmissora e receptora, respectivamente. Para transmissão da antena de referência (2), para a antena de teste (1), ou seja, P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}} (Theta ,Phi ){G_2}{4}{P_2t}}P_2t}
,
e para transmissão no sentido contrário
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {\displaystyle P_{2r}=A_{2}{\frac {\mathrm {G_{1}} (Theta ,Phi )4pi r^{2}}P_{1t}}P_{1t}
.
Aqui, o ganho G 2 {\\i1}g_{\i1}
e área efetiva A 2 {\i1}displaystyle A_{\i}}
da antena 2 são fixas, porque a orientação desta antena é fixa em relação à primeira.
,
quando
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\frac {\frac {\mathrm {A_{\1}} (Theta ,Phi )/mathrm {G_{1}} (Theta ,Phi )|{A_{2}}{G_{2}}}}
. (Theta ,Phi )/mathrm {G_{1}} (Theta ,Phi )|mathrm |{constant} }
,
i.e. a dependência direcional da abertura (recepção) efetiva e o ganho (transmissão) são idênticos (QED). Além disso, a constante de proporcionalidade é a mesma, independentemente da natureza da antena, e assim deve ser a mesma para todas as antenas. A análise de uma antena em particular (como um dipolo hertziano), mostra que esta constante é λ 2 4 π {\i1}{\i1}{\i1}displaystyle {\i}frac {\i}lambda ^{\i}{4\i}}
, onde λ {\i1}displaystylelambda
é o comprimento de onda de espaço livre. Assim, para qualquer antena o ganho e a abertura efetiva são relacionados por A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {\i1}mathrm {A} (Theta ,Phi )={\i1}frac {\i}lambda ^{\i}mathrm {\i} (Theta ,Phi )4pi
.
Para uma antena de recepção, é mais habitual indicar o ganho do que especificar a abertura efectiva. A potência entregue ao receptor é, portanto, mais normalmente escrita como
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {\displaystyle P_{r}={\frac {\lambda ^{2}G_{r}G_{t}}{(4\pi r)^{2}}}P_{t}}}P_{t}}
(ver link orçamento). A abertura efetiva é no entanto de interesse para comparação com o tamanho físico real da antena.
Consequências práticasEditar
- Ao determinar o padrão de uma antena receptora por simulação em computador, não é necessário realizar um cálculo para cada ângulo de incidência possível. Ao contrário, o padrão de radiação da antena é determinado por uma única simulação, e o padrão de recepção inferido pela reciprocidade.
- Ao determinar o padrão de uma antena por medição, a antena pode estar recebendo ou transmitindo, o que for mais conveniente.
- Para uma antena prática, o nível do lóbulo lateral deve ser mínimo, é necessário ter a diretividade máxima.