Há 3 operações básicas usadas nas linhas de uma matriz quando você está usando a matriz para resolver um sistema de equações lineares . O objetivo geralmente é fazer com que a parte esquerda da matriz se pareça com a matriz de identidade .
As três operações são:
- Trocando Linhas
- Multiplicando uma linha por um número
- Adicionando linhas
Trocando linhas
Você pode trocar as linhas de uma matriz para obter uma nova matriz.
→
No exemplo mostrado acima, movemos a Linha 1 para a Linha 2 , a Linha 2 para a Linha 3 , e a Linha 3 para a Linha 1 . (A razão para fazer isso é obter um 1 no canto superior esquerdo)
Multiplicando uma linha por um número
Você pode multiplicar qualquer linha por um número. (Isto significa multiplicar cada entrada na linha pelo mesmo número.)
→ R 3 : 1 3 R 3
Neste exemplo, multiplicamos a linha 3 da matriz por 1 3 . (Isto nos dá o 1 que precisamos na Linha 3 , Coluna 3 .)
Adicionando Linhas
Você também pode adicionar duas linhas juntas, e substituir uma linha com o resultado.
Por exemplo, na matriz que resultou no último exemplo, podemos adicionar as linhas 2 e 3 juntas, entrada por entrada:
+ _
Então, nós substituímos a linha 2 pelo resultado.
→ R 2 : R 2 + R 3
Adicionando múltiplos de linhas
Dissemos que havia apenas três operações, e há. Mas usando as duas últimas operações em combinação, podemos adicionar múltiplos de linhas inteiras a outras linhas, para fazer as coisas andarem mais rápido.
Back up a step, então nós temos a matriz:
Agora em vez de apenas adicionar a linha 2 + linha 3 , adicione a linha 2 + ( 2 × linha 3 ) :
+ _
Depois substitua a linha 2 com o resultado.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
Desta forma, obtemos um 0 na Fila 2 , Coluna 3 .
Podemos fazer isto novamente para obter um 0 na Fila 2 , Coluna 1 . Aqui, multiplicamos a linha 1 por – 2 , adicionamos a linha 2 , e substituímos a linha 2 pelo resultado.
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
Vamos mostrar mais alguns passos, para obter a matriz de identidade 3 × 3 à esquerda (e assim resolver o sistema).
O próximo passo é adicionar a Linha 2 + ( 4 × Linha 3 ) para obter um 0 na Linha 2 , Coluna 3 .
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
A seguir, precisamos de um zero na Fila 1 , Coluna 3 .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
O último passo é apenas uma aplicação da segunda operação, multiplicando uma linha por um número.
→ 1 3 R 3
Temos agora a solução como ordenada tripla ( 1 , 0 , – 2 ) .
Nota importante: Se as equações representadas pela sua matriz original representam linhas idênticas ou paralelas, você não será capaz de obter a matriz de identidade usando estas operações de linha. Neste caso, a solução ou não existe ou existem infinitas soluções para o sistema.