Leibniz

7.8.1 A elasticidade da procura

A elasticidade da procura mede a sensibilidade da quantidade procurada ao preço: diz-nos a mudança percentual da quantidade procurada quando o preço muda em 1%. Neste Leibniz, definimos a elasticidade usando cálculo, e mostramos como as decisões de preço de uma empresa dependem da elasticidade da demanda que ela enfrenta.

Existem duas formas de escrever uma função de demanda. Anteriormente descrevemos a procura de Beautiful Cars usando a função de procura inversa:

onde está o preço pelo qual a empresa pode vender exactamente carros. Para definir a elasticidade é mais conveniente escrever a função de procura na sua forma directa:

é a quantidade de Beautiful Cars exigida se o preço é . (A função é a função inversa de ; matematicamente, podemos escrever .)

A derivada da função procura é . Esta é uma forma de medir o quanto a demanda do consumidor muda em resposta a uma mudança no preço. Mas não é uma medida muito útil, uma vez que depende das unidades em que e são medidas. Por exemplo, obteríamos uma resposta diferente se o preço fosse em euros, em vez de dólares.

Em vez disso, definimos a elasticidade do preço da procura no texto como:

Esta é uma medida mais útil da capacidade de resposta da procura ao preço. Você pode ver pela definição que ela é independente das unidades de medida. Mas está intimamente relacionado com a derivada – para ver isto, suponha que o preço muda de para , fazendo com que a quantidade demandada mude de para . A mudança percentual no preço é , e a mudança percentual na quantidade é . Substituindo-as na expressão pela elasticidade, obtemos:

Alterando o limite desta expressão como nos dá a definição do cálculo da elasticidade do preço da procura, que denotamos como no texto:

E como , a elasticidade também pode ser escrita como:

Notem que o valor da elasticidade é normalmente positivo, uma vez que de acordo com a Lei da Procura, a derivada da função da procura será negativa.

Quando definido assim, usando cálculo, é apenas aproximadamente o mesmo que a nossa definição original da elasticidade como a queda percentual da quantidade demandada quando o preço aumenta em 1%. Mas na suposição razoável de que 1% é uma pequena quantidade, é uma aproximação próxima, e muitas vezes interpretamos assim.

Considerar a função procura:

Aqui,

Neste caso particular, a elasticidade da procura é constante – é igual a todos os pontos da curva da procura.

Em geral, as elasticidades não são constantes. Elas variam à medida que nos movemos ao longo da curva de demanda. Mas o exemplo acima ilustra um caso especial. Se a forma da função demanda é , onde e são constantes positivas, a elasticidade da demanda é . Esta é a única classe de funções de demanda para a qual a elasticidade é constante.

Expressão da elasticidade em termos de quantidade

Outra expressão para a elasticidade da demanda pode ser obtida retornando à função de demanda inversa . Pela regra da função inversa,

so

Um segundo exemplo: suponhamos que a função de demanda inversa é representada por Beautiful Cars

como na Figura 7.15 do texto. Usando a expressão acima, a elasticidade da demanda é:

Alternativamente, podemos expressar a elasticidade em termos de preço: assim

Cada uma das duas expressões para mostra que ela cai à medida que nos deslocamos para a direita ao longo da curva da procura, aumentando e reduzindo . Isto é assim para cada função de demanda linear, como é o resultado que se aproxima como aproximação e se aproxima como aproximação de seu valor máximo, onde . Assim, se Beautiful Cars vende apenas dois carros por dia ao preço de $7.840, a elasticidade da demanda é de 49; enquanto que se a empresa vende 95 carros por dia cobrando apenas $400 por carro, a três casas decimais.

Elasticidade e receita marginal

Vimos em Leibniz 7.6.1 que se a função de demanda inversa de Beautiful Cars é , sua função de receita é

e que a receita marginal (MR) é definida da seguinte forma:

Reescrevendo esta expressão usando a fórmula e usando o fato de que , vemos que existe uma relação entre a receita marginal e a elasticidade da demanda:

O que implica que a receita marginal será positiva se , negativa se .

Como foi anotado no texto, a demanda é dita como sendo elástica se , inelástica se . O segundo exemplo mostra que a demanda pode ser elástica e inelástica em diferentes pontos da mesma curva de demanda. O que acabamos de mostrar é que a receita marginal é positiva se, e somente se, a empresa estiver operando naquela porção da curva de demanda onde a demanda é elástica. Em particular, isto será assim se a empresa maximizar seu lucro e, portanto, escolher sua produção para equacionar receita marginal e custo marginal, já que o custo marginal é positivo.

A marcação

Recall from Leibniz 7.6.1 que a condição de primeira ordem para a maximização do lucro é , onde está o custo marginal. Usando a fórmula de receita marginal que acabamos de derivar, podemos escrever a condição de primeira ordem da seguinte forma:

Rearranjo,

O lado esquerdo desta equação é a majoração da empresa – isto é, a margem de lucro como uma proporção do preço. A equação nos diz que a majoração (no ponto de maximização do lucro) será maior, quanto menor a elasticidade da demanda. Por exemplo, se a elasticidade da demanda está no ótimo, há uma majoração de , enquanto uma elasticidade da demanda significa que a majoração está , então a empresa fixará seu preço em cinco vezes o custo marginal. A relação inversa entre a majoração e a elasticidade da demanda de preço é ilustrada pelas Figuras 7.16 e 7.17 do texto, reproduzidas abaixo como Figura 1.

Elasticidade em geral

Elasticidade é um conceito matemático geral, embora, tanto quanto sabemos, só os economistas o usam. Suponhamos que temos uma função diferenciável , onde e tomamos apenas valores positivos. A elasticidade de com respeito a pode ser definida como:

Este é o limite da razão

como o denominador aproxima-se de zero. Uma alternativa, que usamos no caso da elasticidade do preço da procura, é definir a elasticidade como o valor absoluto deste limite.

Ler mais: Secções 6.4 e 7.4 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Matemática para economistas: Um manual de introdução, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.