Um anel no sentido matemático é um conjunto 
juntamente com dois operadores binários 
e 
(geralmente interpretado como adição e multiplicação, respectivamente) satisfazendo as seguintes condições
1. Associatividade aditiva: Para todos 
, 
,
2. Comutatividade aditiva: Para todos os 
, 
,
3. Identidade aditiva: Existe um elemento 
tal que para todos 
, 
,
4. Aditivo inverso: Para cada 
existe um elemento 
tal que 
,
5. Distributividade esquerda e direita: Para todos 
, 
e 
,
6. Associatividade multiplicativa: Para todos 
, 
(um anel que satisfaz esta propriedade é por vezes explicitamente designado por anel associativo).
Condições 1-5 são sempre necessárias. Embora existam anéis não associativos, virtualmente todos os textos também requerem a condição 6 (Itô 1986, pp. 1369-1372; p. 418; Zwillinger 1995, pp. 141-143; Harris e Stocker 1998; Knuth 1998; Korn e Korn 2000; Bronshtein e Semendyayev 2004).
Anéis também podem satisfazer várias condições opcionais:
7. Comutatividade multiplicativa: Para todos 
, 
(um anel que satisfaz esta propriedade é chamado de anel comutativo),
8. Identidade multiplicativa: Existe um elemento 
tal que para todos 
, 
(um anel que satisfaz esta propriedade é chamado de anel unitário, ou por vezes de “anel com identidade”),
9. Inverso multiplicativo: Para cada 
em 
, existe um elemento 
tal que para todos 
, 
, onde 1 é o elemento de identidade.
Um anel que satisfaz todas as propriedades adicionais 6-9 é chamado de campo, enquanto que um que satisfaz apenas as propriedades adicionais 6, 8, e 9 é chamado de álgebra de divisão (ou campo oblíquo).
Alguns autores se afastam da convenção normal e requerem (sob sua definição) um anel para incluir propriedades adicionais. Por exemplo, Birkhoff e Mac Lane (1996) definem um anel para ter uma identidade multiplicativa (ou seja, propriedade 8).
Aqui estão vários exemplos de anéis sem condições particulares:
1. Sem associatividade multiplicativa (às vezes também chamada de algebras não-associativas): octonions, OEIS A037292,
2. Sem comutatividade multiplicativa: Real-valorizada 
matrizes, quaterniões,
3. Sem identidade multiplicativa: Inteiros com valor par,
4. Sem inverso multiplicativo: inteiros.
A palavra anel é a abreviatura da palavra alemã ‘Zahlring’ (anel numérico). A palavra francesa para um anel é anneau, e a palavra alemã moderna é Ring, ambas significando (não tão surpreendentemente) “anel”. Fraenkel (1914) deu a primeira definição abstrata do anel, embora este trabalho não tenha tido muito impacto. O termo foi introduzido por Hilbert para descrever anéis como
Multiplicando sucessivamente o novo elemento 
, ele eventualmente se torna algo já gerado, algo como um anel, ou seja, 
é novo mas 
é um número inteiro. Todos os números algébricos têm esta propriedade, por exemplo, 
satisfaz 
.
Um anel deve conter pelo menos um elemento, mas não precisa conter uma identidade multiplicativa ou ser comutativo. O número de anéis finitos de 
elementos para 
, 2, …, são 1, 2, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, … (OEIS A027623 e A037234; Fletcher 1980). Se 
e 
são primos, existem dois anéis de tamanho 
, quatro anéis de tamanho 
, 11 anéis de tamanho 
(Singmaster 1964, Dresden), 22 anéis de tamanho 
, 52 anéis de tamanho 
para 
, e 53 anéis de tamanho 
para 
(Ballieu 1947, Gilmer e Mott 1973; Dresden).
Um anel que é comutativo sob multiplicação, tem um elemento unitário, e não tem divisores de zero é chamado de domínio integral. Um anel cujos elementos não zeros formam um grupo de multiplicação comutativa é chamado de campo. Os anéis mais simples são os inteiros 
, polinômios 
e 
em uma e duas variáveis, e quadrados 
matrizes reais.
Anéis que foram investigados e considerados de interesse são normalmente nomeados após um ou mais dos seus investigadores. Esta prática infelizmente leva a nomes que dão muito pouco conhecimento sobre as propriedades relevantes dos anéis associados.
Renteln e Dundes (2005) dão a seguinte (má) piada matemática sobre anéis:
Q: O que é um grupo Abeliano sob adição, fechado, associativo, distributivo, e carrega uma maldição? R: O Anel do Nibelung.