Análise de Regressão de Poisson usando Estatísticas SPSS

Introdução

Regressão de Poisson é usada para prever uma variável dependente que consiste em “dados de contagem”, dada uma ou mais variáveis independentes. A variável que queremos prever é chamada de variável dependente (ou às vezes a resposta, resultado, alvo ou variável critério). As variáveis que estamos usando para prever o valor da variável dependente são chamadas de variáveis independentes (ou às vezes de variáveis preditoras, explicativas ou regressoras). Alguns exemplos onde a regressão de Poisson poderia ser usada são descritos abaixo:

• Exemplo #1: Você poderia usar a regressão de Poisson para examinar o número de alunos suspensos por escolas em Washington nos Estados Unidos com base em preditores como sexo (meninas e meninos), raça (branca, negra, hispânica, asiática/pacifica e indígena americano/alasca nativo), língua (inglês é sua primeira língua, inglês não é sua primeira língua) e status de deficiência (deficiente e não deficiente). Aqui, o “número de suspensões” é a variável dependente, enquanto “sexo”, “raça”, “idioma” e “status de deficiência” são todas variáveis nominais independentes.
• Exemplo #2: Você poderia usar a regressão de Poisson para examinar o número de vezes que as pessoas na Austrália não pagam com cartão de crédito em um período de cinco anos, com base em preditores como status de emprego (empregado, desempregado), salário anual (em dólares australianos), idade (em anos), sexo (masculino e feminino) e níveis de desemprego no país (% desempregados). Aqui, o “número de inadimplências no reembolso do cartão de crédito” é a variável dependente, enquanto “status profissional” e “sexo” são variáveis independentes nominais, e “salário anual”, “idade” e “níveis de desemprego no país” são variáveis independentes contínuas.
• Exemplo #3: Você poderia usar a regressão de Poisson para examinar o número de pessoas à sua frente na fila de espera no Departamento de Emergência (A&E) de um hospital com base em preditores como o modo de chegada em A&E (ambulância ou auto check-in), a gravidade avaliada da lesão durante a triagem (leve, moderada, grave), hora do dia e dia da semana. Aqui, o “número de pessoas à sua frente na fila” é a variável dependente, enquanto “modo de chegada” é uma variável independente nominal, “gravidade da lesão avaliada” é uma variável independente ordinal, e “hora do dia” e “dia da semana” são variáveis independentes contínuas.
• Exemplo #4: Você poderia usar a regressão de Poisson para examinar o número de estudantes que recebem uma nota de 1ª classe em um programa de MBA baseado em preditores, tais como os tipos de cursos opcionais que eles escolheram (principalmente numéricos, principalmente qualitativos, uma mistura de numéricos e qualitativos) e seu GPA ao entrar no programa. Aqui, “número de estudantes de 1ª classe” é a variável dependente, enquanto “cursos opcionais” é uma variável independente nominal e “GPA” é uma variável independente contínua.

Realizar uma regressão de Poisson, você será capaz de determinar quais de suas variáveis independentes (se houver) têm um efeito estatisticamente significativo sobre sua variável dependente. Para variáveis independentes categóricas, você será capaz de determinar o aumento ou a diminuição percentual nas contagens de um grupo (por exemplo, mortes entre “crianças” em montanhas-russas) versus outro (por exemplo, mortes entre “adultos” em montanhas-russas). Para variáveis independentes contínuas você será capaz de interpretar como um aumento ou diminuição de uma única unidade nessa variável está associado a um aumento ou diminuição percentual nas contagens da sua variável dependente (por exemplo, uma diminuição de $1.000 no salário – a variável independente – sobre a variação percentual no número de vezes que as pessoas na Austrália não pagam com cartão de crédito – a variável dependente).

Este guia de “início rápido” mostra como realizar a regressão de Poisson usando as Estatísticas SPSS, bem como interpretar e relatar os resultados deste teste. No entanto, antes de introduzirmos este procedimento, você precisa entender as diferentes suposições que seus dados devem cumprir para que a regressão de Poisson lhe dê um resultado válido. Nós discutimos essas suposições a seguir.

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SPSS Statistics

Assumptions

Quando você escolhe analisar seus dados usando a regressão de Poisson, parte do processo envolve verificar se os dados que você quer analisar podem realmente ser analisados usando a regressão de Poisson. Você precisa fazer isso porque só é apropriado usar a regressão de Poisson se seus dados “passarem” cinco suposições que são necessárias para que a regressão de Poisson lhe dê um resultado válido. Na prática, a verificação dessas cinco suposições levará a grande maioria do seu tempo ao executar a regressão de Poisson. Entretanto, é essencial que você faça isso porque não é raro que os dados sejam violados (ou seja, não cumpram) uma ou mais dessas suposições. No entanto, mesmo quando os seus dados falham algumas dessas suposições, muitas vezes existe uma solução para superar isso. Primeiro, vamos dar uma olhada nestas cinco suposições:

• Suposição #1: Sua variável dependente consiste em dados de contagem. Os dados de contagem são diferentes dos dados medidos em outros tipos conhecidos de regressão (por exemplo, regressão linear e regressão múltipla requerem variáveis dependentes que são medidas em uma escala “contínua”, regressão logística binomial requer uma variável dependente medida em uma escala “dicotômica”, regressão ordinal requer uma variável dependente medida em uma escala “ordinal”, e regressão logística multinomial requer uma variável dependente medida em uma escala “nominal”). Em contraste, variáveis de contagem requerem dados inteiros que devem ser iguais ou superiores a zero. Em termos simples, pense em um “inteiro” como um número “inteiro” (por exemplo, 0, 1, 5, 8, 354, 888, 23400, etc.). Além disso, como os dados de contagem devem ser “positivos” (ou seja, consistir em valores inteiros “não negativos”), não podem consistir em valores “negativos” (por exemplo, valores como -1, -5, -8, -354, -888 e -23400 não seriam considerados dados de contagem). Além disso, às vezes é sugerido que a regressão de Poisson só seja realizada quando a contagem média for um valor pequeno (por exemplo, menos de 10). Quando há um grande número de contagens, um tipo diferente de regressão pode ser mais apropriado (por exemplo, regressão múltipla, regressão gama, etc.).
  Exemplos de variáveis de contagem incluem o número de voos atrasados em mais de três horas nos aeroportos europeus, o número de estudantes suspensos por escolas em Washington nos Estados Unidos, o número de vezes que as pessoas na Austrália não pagam com o seu cartão de crédito num período de cinco anos, o número de pessoas à sua frente na fila do departamento de Acidentes & Emergência (A&E) de um hospital, o número de estudantes que recebem uma nota de 1ª classe (normalmente menos de 5) num programa de MBA, e o número de pessoas mortas em acidentes com montanhas-russas nos Estados Unidos.
• Pressuposto #2: Você tem uma ou mais variáveis independentes, que podem ser medidas em uma escala contínua, ordinal ou nominal/dicotômica. Variáveis ordinais e nominais/dicotômicas podem ser amplamente classificadas como variáveis categóricas.
  Exemplos de variáveis contínuas incluem tempo de revisão (medido em horas), inteligência (medida usando a pontuação de QI), desempenho do exame (medido de 0 a 100) e peso (medido em kg). Exemplos de variáveis ordinais incluem itens de Likert (por exemplo, uma escala de 7 pontos desde “concordo fortemente” até “discordo fortemente”), entre outras formas de classificar categorias (por exemplo, uma escala de 3 pontos explicando o quanto um cliente gostou de um produto, desde “Não muito” até “Sim, muito”). Exemplos de variáveis nominais incluem gênero (por exemplo, dois grupos – masculino e feminino – também conhecido como variável dicotômica), etnia (por exemplo, três grupos: caucasiano, afro-americano e hispânico) e profissão (por exemplo, cinco grupos: cirurgião, médico, enfermeiro, dentista, terapeuta). Lembre-se que as variáveis ordinais e nominais/dicotômicas podem ser amplamente classificadas como variáveis categóricas. Você pode aprender mais sobre variáveis em nosso artigo: Tipos de variáveis.
• Suposição #3: Você deve ter independência de observações. Isto significa que cada observação é independente das outras observações; ou seja, uma observação não pode fornecer qualquer informação sobre outra observação. Esta é uma suposição muito importante. A falta de observações independentes é sobretudo uma questão de concepção do estudo. Um método para testar a possibilidade de independência de observações é comparar erros baseados em modelos padrão com erros robustos para determinar se existem grandes diferenças.
• Assunção #4: A distribuição de contagens (condicional ao modelo) segue uma distribuição de Poisson. Uma consequência disto é que as contagens observadas e esperadas devem ser iguais (na realidade, apenas muito semelhantes). Essencialmente, isto está dizendo que o modelo prediz bem as contagens observadas. Isto pode ser testado de várias maneiras, mas um método é calcular as contagens esperadas e plotá-las com as contagens observadas para ver se são semelhantes.
• Assunção #5: A média e a variância do modelo são idênticas. Isto é uma consequência da Suposição #4; que existe uma distribuição de Poisson. Para uma distribuição de Poisson, a variância tem o mesmo valor que a média. Se você satisfizer esta suposição, você tem equidispersão. No entanto, muitas vezes este não é o caso e seus dados são sub ou sobredispersos com sobredispersão o problema mais comum. Há uma variedade de métodos que você pode usar para avaliar a dispersão excessiva. Um método é avaliar a estatística de dispersão Pearson.

Você pode verificar as suposições #3, #4 e #5 usando as Estatísticas SPSS. As suposições #1 e #2 devem ser verificadas primeiro, antes de passar para as suposições #3, #4, e #5. Basta lembrar que se você não executar os testes estatísticos nessas suposições corretamente, os resultados obtidos ao executar a regressão de Poisson podem não ser válidos.

Também, se seus dados violaram a suposição #5, que é extremamente comum ao executar a regressão de Poisson, você precisa primeiro verificar se você tem “aparente sobredispersão de Poisson”. A superdispersão aparente de Poisson é onde você não especificou corretamente o modelo, de tal forma que os dados aparecem superdispersos. Portanto, se o seu modelo Poisson violar inicialmente a suposição de equidispersão, você deve primeiro fazer uma série de ajustes no seu modelo Poisson para verificar se ele está realmente superdisperso. Isto requer que você faça seis verificações do seu modelo/dados: (a) Seu modelo Poisson inclui todos os preditores importantes?; (b) Seus dados incluem outliers?; (c) Sua regressão de Poisson inclui todos os termos de interação relevantes?; (d) Algum de seus preditores precisa ser transformado?; (e) Seu modelo Poisson requer mais dados e/ou seus dados são muito esparsos?; e (f) Você tem valores ausentes que não faltam ao acaso (MAR)?

Na seção, Procedimento, ilustramos o procedimento das Estatísticas SPSS para realizar uma regressão de Poisson assumindo que nenhuma suposição tenha sido violada. Primeiro, apresentamos o exemplo que é usado neste guia.

SPSS Statistics

Exemplo &Configuração em SPSS Statistics

O Diretor de Pesquisa de uma pequena universidade quer avaliar se a experiência de um acadêmico e o tempo que ele tem disponível para realizar pesquisas influencia o número de publicações que ele produz. Portanto, uma amostra aleatória de 21 acadêmicos da universidade são convidados a participar da pesquisa: 10 são académicos experientes e 11 são académicos recentes. O número de horas dedicadas à pesquisa nos últimos 12 meses e o número de publicações revisadas por pares geradas são registrados.

Para configurar o desenho deste estudo na SPSS Statistics, criamos três variáveis: (1) no_of_publications, que é o número de publicações que o acadêmico publicou em revistas revisadas por pares nos últimos 12 meses; (2) experience_of_academic, que reflete se o acadêmico é experiente (ou seja, se trabalhou no meio acadêmico por 10 anos ou mais e, portanto, é classificado como um “acadêmico experiente”) ou se se tornou recentemente um acadêmico (ou seja, trabalhou na academia por menos de 3 anos, mas pelo menos um ano, e portanto é classificado como um “acadêmico recente”); e (3) no_de_horas_semanais, que é o número de horas que um acadêmico tem disponível a cada semana para trabalhar em pesquisa.

Estatísticas SPSS

Test Procedure in SPSS Statistics

Os 13 passos abaixo mostram como analisar seus dados usando a regressão de Poisson nas Estatísticas SPSS quando nenhuma das cinco suposições da seção anterior, Suposições, tiver sido violada. Ao final destes 13 passos, mostramos como interpretar os resultados da sua regressão de Poisson.

1. Click Analyze > Modelos Lineares Generalizados > Modelos Lineares Generalizados… no menu principal, como mostrado abaixo:
   

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   Você será apresentado com a caixa de diálogo Modelos Lineares Generalizados abaixo:

   

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2. Selecione Poisson loglinear na área , como mostrado abaixo:
   

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   Nota: Embora seja padrão selecionar Poisson loglinear na área para executar uma regressão Poisson, você também pode escolher executar uma regressão Poisson personalizada selecionando Custom na área e então especificar o tipo de modelo Poisson que você deseja executar usando as opções Distribution:, Link function: e -Parameter-.

3. Selecione a aba . Você será apresentado com a seguinte caixa de diálogo:
   

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4. Transfira sua variável dependente, no_of_publications, para a variável Dependente: caixa na área usando o botão , como mostrado abaixo:
   

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5. Selecione a aba . Você será apresentado com a seguinte caixa de diálogo:
   

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6. Transfira a variável independente categórica, experience_of_academic, para a caixa Factors: e a variável independente contínua, no_of_weekly_hours, para a caixa Covariates:, usando os botões , como mostrado abaixo:
   

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   Nota 1: Se você tem variáveis ordinais independentes, você precisa decidir se estas devem ser tratadas como categóricas e inseridas na caixa Factors: ou tratadas como contínuas e inseridas na caixa Covariates:. Elas não podem ser inseridas em uma regressão de Poisson como variáveis ordinais.

   Nota 2: Embora seja típico inserir variáveis independentes contínuas na caixa Covariates:, é possível inserir variáveis independentes ordinais em vez disso. Entretanto, se você escolher fazer isso, sua variável independente ordinal será tratada como contínua.

   Nota 3: Se você clicar no botão a seguinte caixa de diálogo aparecerá:
   
   Na área -Category Order for Factors- você pode escolher entre as opções de ordem Ascendente, Descendente e Usar dados. Estas são úteis porque o SPSS Statistics transforma automaticamente as suas variáveis categóricas em variáveis fictícias. A menos que você esteja familiarizado com variáveis fictícias, isso pode tornar um pouco complicado interpretar a saída de uma regressão de Poisson para cada um dos grupos de suas variáveis categóricas. Portanto, fazer alterações nas opções da área -Category Order for Factors- pode facilitar a interpretação da sua saída.

7. Selecione a guia . Você será apresentado com a seguinte caixa de diálogo:
   

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   >

8. Calcule o padrão de na área -Build Term(s)- e transfira as variáveis categóricas e contínuas independentes, experiência_de_acadêmico e no_de_horas_semanais, da caixa Factors and Covariates: para a caixa Model: box, usando o botão , como mostrado abaixo:
   

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   Nota 1: É na caixa de diálogo que você constrói o seu modelo Poisson. Em particular, você determina que efeitos principais você tem (a opção ), bem como se você espera que haja alguma interação entre suas variáveis independentes (a opção ). Se você suspeita que tem interações entre suas variáveis independentes, incluir estas no seu modelo é importante não só para melhorar a previsão do seu modelo, mas também para evitar problemas de superdispersão, como destacado na seção Suposições anteriormente.
   Enquanto fornecemos um exemplo para um modelo muito simples com apenas um único efeito principal (entre as variáveis categóricas e contínuas independentes, experiência_de_acadêmica e sem_horas_semanais), você pode facilmente inserir modelos mais complexos usando os modelos , , . e opções na área -Build Term(s)- dependendo do tipo de efeitos principais e interações que você tem no seu modelo.

   Nota 2: Você também pode construir termos aninhados no seu modelo adicionando estes na caixa Term: na área -Build Nested Term-. Nós não temos efeitos aninhados neste modelo, mas há muitos cenários onde você pode ter termos aninhados no seu modelo.

9. Selecione a aba . Você será apresentado com a seguinte caixa de diálogo:
   

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10. Calcule as opções padrão selecionadas.

    Nota: Há uma série de opções diferentes que você pode selecionar dentro da área -Parameter Estimation-, incluindo a capacidade de escolher uma diferente: (a) método do parâmetro de escala (isto é, ou em vez de na caixa Método do parâmetro de escala:), que pode ser considerado para lidar com questões de sobredispersão; e (b) matriz de covariância (isto é, estimador robusto em vez de estimador baseado em modelos na área -Matriz de Covariância-), que apresenta outra opção potencial (entre outras coisas) para lidar com questões de sobredispersão.
    Há também uma série de especificações que pode fazer na área -Iterações- para lidar com questões de não-convergência no seu modelo Poisson.

11. Selecione a aba . Você será apresentado com a seguinte caixa de diálogo:
    

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12. Select Incluir estimativas de parâmetros exponenciais na área , como mostrado abaixo:
    

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    Nota 1: Na área , você pode escolher entre a razão Wald e a razão de probabilidade com base em fatores como o tamanho da amostra e as implicações que isso pode ter para a precisão dos testes de significância estatística.
    Na área , o teste do multiplicador de Lagrange também pode ser útil para determinar se o modelo Poisson é apropriado para seus dados (embora isto não possa ser executado usando o procedimento de regressão de Poisson).

    Nota 2: Você também pode selecionar uma ampla gama de outras opções nas abas e . Estas incluem opções que são importantes ao examinar diferenças entre os grupos de suas variáveis categóricas, bem como testar as suposições da regressão de Poisson, como discutido na seção Suposições anteriormente.

13. Clique no botão . Isto irá gerar o output.

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Interpretando e Relatando o Output da Análise de Regressão de Poisson

SPSS Statistics irá gerar várias tabelas de output para uma análise de regressão de Poisson. Nesta seção, mostramos as oito tabelas principais necessárias para entender seus resultados do procedimento de regressão de Poisson, assumindo que nenhuma suposição foi violada.

Informação de modelo e variável

A primeira tabela no output é a tabela de Informação de Modelo (como mostrado abaixo). Isto confirma que a variável dependente é o “Número de publicações”, a distribuição de probabilidade é “Poisson” e a função link é o logaritmo natural (i.e., “Log”). Se você estiver executando uma regressão de Poisson em seus próprios dados o nome da variável dependente será diferente, mas a distribuição de probabilidade e função de link será a mesma.

A segunda tabela, Case Processing Summary, mostra quantos casos (por exemplo, assuntos) foram incluídos na sua análise (a linha “Incluído”) e quantos não foram incluídos (a linha “Excluído”), assim como a percentagem de ambos. Você pode pensar na linha “Excluídos” como indicando casos (por exemplo, sujeitos) que tinham um ou mais valores em falta. Como você pode ver abaixo, havia 21 sujeitos nesta análise sem sujeitos excluídos (ou seja, sem valores ausentes).

A tabela de Informações de Variável Categórica destaca o número e a porcentagem de casos (por exemplo, sujeitos) em cada grupo de cada variável categórica independente em sua análise. Nesta análise, há apenas uma variável categórica independente (também conhecida como “fator”), que foi a experiência_do_acadêmico. Você pode ver que os grupos são bastante equilibrados em números entre os dois grupos (ou seja, 10 contra 11). Tamanhos de grupos altamente desequilibrados podem causar problemas com o ajuste do modelo, mas podemos ver que não há problema aqui.

A tabela de Informação Variável Contínua pode fornecer uma verificação rudimentar dos dados para quaisquer problemas, mas é menos útil que outras estatísticas descritivas que você pode executar separadamente antes de executar a regressão de Poisson. O melhor que você pode obter desta tabela é entender se pode haver uma dispersão excessiva em sua análise (ou seja, Assunção #5 da regressão de Poisson). Você pode fazer isso considerando a razão da variância (o quadrado da coluna “Desvio Std.”) para a média (a coluna “Média”) para a variável dependente. Você pode ver estes números abaixo:

A média é 2,29 e a variância é 2,81 (1,677582), que é uma razão de 2,81 ÷ 2,29 = 1,23. Uma distribuição de Poisson assume uma razão de 1 (ou seja, a média e a variância são iguais). Portanto, podemos ver que antes de adicionarmos qualquer variável explicativa há uma pequena quantidade de sobredispersão. Entretanto, precisamos verificar esta suposição quando todas as variáveis independentes tiverem sido adicionadas à regressão de Poisson. Isto é discutido na próxima seção.

Determinando quão bem o modelo se encaixa

A tabela Goodness of Fit fornece muitas medidas que podem ser usadas para avaliar quão bem o modelo se encaixa. No entanto, vamos nos concentrar no valor na coluna “Value/df” para a linha “Pearson Chi-Square”, que é 1,108 neste exemplo, como mostrado abaixo:

Um valor de 1 indica equidispersão enquanto valores maiores que 1 indicam sobredispersão e valores abaixo de 1 indicam subdispersão. O tipo mais comum de violação da suposição de equidispersão é a sobredispersão. Com um tamanho de amostra tão pequeno neste exemplo, um valor de 1,108 provavelmente não será uma violação grave desta suposição.

A tabela de teste Omnibus se encaixa em algum lugar entre esta seção e a próxima. É um teste de razão de verossimilhança para saber se todas as variáveis independentes melhoram coletivamente o modelo em relação ao modelo apenas de interceptação (isto é, sem adição de variáveis independentes). Tendo todas as variáveis independentes em nosso modelo exemplo temos um valor p de .006 (ou seja, p = .006), indicando um modelo global estatisticamente significativo, como mostrado abaixo na coluna “Sig.”:

Agora que você saiba que a adição de todas as variáveis independentes gera um modelo estatisticamente significativo, você vai querer saber quais variáveis independentes específicas são estatisticamente significativas. Isto é discutido na próxima seção.

Efeitos do modelo e significância estatística das variáveis independentes

A tabela Testes de efeitos do modelo (como mostrado abaixo) exibe a significância estatística de cada uma das variáveis independentes na coluna “Sig.”:

Não costuma haver qualquer interesse na interceptação do modelo. No entanto, podemos ver que a experiência do acadêmico não foi estatisticamente significativa (p = .644), mas o número de horas trabalhadas por semana foi estatisticamente significativo (p = .030). Esta tabela é mais útil para variáveis categóricas independentes porque é a única tabela que considera o efeito global de uma variável categórica, ao contrário da tabela Estimativas de Parâmetros, como mostrado abaixo:

Esta tabela fornece tanto as estimativas dos coeficientes (a coluna “B”) da regressão de Poisson como os valores exponenciados dos coeficientes (a coluna “Exp(B)”). Normalmente são estes últimos que são mais informativos. Estes valores exponenciados podem ser interpretados de mais de uma forma e vamos mostrar-lhe uma forma neste guia. Considere, por exemplo, o número de horas trabalhadas semanalmente (ou seja, a linha “no_of_weekly_hours”). O valor exponenciado é 1.044. Isto significa que o número de publicações (ou seja, a contagem da variável dependente) será 1,044 vezes maior para cada hora extra trabalhada por semana. Outra forma de dizer isto é que há um aumento de 4,4% no número de publicações para cada hora extra trabalhada por semana. Uma interpretação semelhante pode ser feita para a variável categórica.

Pondo tudo junto

Pode escrever os resultados do número de horas trabalhadas por semana da seguinte forma: