As somas parciais de 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ são 1, 3, 7, 15, …; uma vez que estas divergem para o infinito, o mesmo acontece com a série.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\\i1}+2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Por isso, qualquer método de soma totalmente regular dá uma soma de infinito, incluindo a soma de Cesàro e a soma de Abel. Por outro lado, há pelo menos um método geralmente útil que soma 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ para o valor finito de -1. A série de potências associadas
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}}
tem um raio de convergência em torno de 0 de apenas 1/2, portanto não converge a x = 1. No entanto, a função assim definida f tem uma continuação analítica única para o plano complexo com o ponto x = 1/2 apagado, e é dada pela mesma regra f(x) = 1/1 – 2x. Como f(1) = -1, a série original 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ é dita como somável (E) a -1, e -1 é a soma (E) da série. (A notação é devida a G. H. Hardy em referência à abordagem de Leonhard Euler a séries divergentes).
Uma abordagem quase idêntica (a tomada pelo próprio Euler) é considerar as séries de potências cujos coeficientes são todos 1, i.e.
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}
e encaixe y = 2. Estas duas séries estão relacionadas pela substituição y = 2x.
O facto de (E) a soma atribuir um valor finito a 1 + 2 + 4 + 8 + … mostra que o método geral não é totalmente regular. Por outro lado, ele possui algumas outras qualidades desejáveis para um método de somatória, incluindo estabilidade e linearidade. Estes dois últimos axiomas forçam a soma a ser -1, já que tornam válida a seguinte manipulação:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {\i1}s {\i}begin{rcl}s&=&\i}displaystyle 1+2+4+8+8+16+cdots {\i1}8038>=8038>\i}displaystyle 1+2(1+2+4+8+\i}cdots {\i1}8038>=8038>\i}displaystyle 1+2send{array}}}
Num sentido útil, s = ∞ é uma raiz da equação s = 1 + 2s. (Por exemplo, ∞ é um dos dois pontos fixos da transformação de Möbius z → 1 + 2z na esfera de Riemann). Se algum método de soma é conhecido por retornar um número comum para s, ou seja, não ∞, então ele é facilmente determinado. Neste caso, s pode ser subtraído de ambos os lados da equação, produzindo 0 = 1 + s, então s = -1.
A manipulação acima pode ser chamada para produzir -1 fora do contexto de um procedimento de soma suficientemente poderoso. Para os conceitos mais conhecidos e simples de soma, incluindo o fundamental convergente, é absurdo que uma série de termos positivos possa ter um valor negativo. Um fenômeno semelhante ocorre com as séries geométricas divergentes 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯, onde uma série de inteiros parece ter a soma não-inteira 1/2. Estes exemplos ilustram o perigo potencial na aplicação de argumentos semelhantes às séries implícitas por decimais tão recorrentes como 0,111… e mais notavelmente 0,999…. Os argumentos são justificados para estas séries convergentes, implicando que 0,111… = 1/9 e 0,999… = 1, mas as provas subjacentes exigem uma reflexão cuidadosa sobre a interpretação de somas infinitas.
Também é possível ver esta série como convergente num sistema numérico diferente dos números reais, nomeadamente, os números 2-ádicos. Como uma série de números 2-ádicos, esta série converge para a mesma soma, -1, como foi derivado acima pela continuação analítica.