Po pełny dowód, patrz artykuł Wzajemność (elektromagnetyzm). Tutaj, przedstawiamy wspólny prosty dowód ograniczony do przybliżenia dwóch anten oddzielonych dużą odległością w porównaniu do rozmiaru anteny, w jednorodnym ośrodku. Pierwsza antena jest anteną testową, której wzory mają być badane; antena ta może być skierowana w dowolnym kierunku. Druga antena jest anteną odniesienia, która wskazuje sztywno na pierwszą antenę.
Każda antena jest naprzemiennie podłączona do nadajnika posiadającego określoną impedancję źródłową oraz odbiornika posiadającego taką samą impedancję wejściową (impedancja może się różnić pomiędzy dwoma antenami).
Zakłada się, że dwie anteny są wystarczająco oddalone od siebie, aby na właściwości anteny nadawczej nie miało wpływu obciążenie nałożone na nią przez antenę odbiorczą. W konsekwencji, ilość mocy przekazywanej z nadajnika do odbiornika może być wyrażona jako iloczyn dwóch niezależnych czynników; jeden zależny od właściwości kierunkowych anteny nadawczej, a drugi zależny od właściwości kierunkowych anteny odbiorczej.
Dla anteny nadawczej, zgodnie z definicją zysku, G {{displaystyle G}
, gęstość mocy promieniowania w odległości r {displaystyle r}
od anteny (tj. moc przechodząca przez jednostkę powierzchni) wynosi W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t { {displaystyle \mathrm {W} (\theta ,\Phi )={frac {{mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}P_{t}}
.
Tutaj, kąty θ {{displaystyle \theta }
oraz Φ {displaystyle \Phi }
wskazują na zależność od kierunku od anteny, a P t {displaystyle P_{t}}
oznacza moc, jaką nadajnik dostarczyłby do dopasowanego obciążenia. Wzmocnienie G {displaystyle G}
może być podzielony na trzy czynniki: zysk anteny (kierunkowa redystrybucja mocy), sprawność promieniowania (uwzględniająca straty omowe w antenie) i wreszcie straty wynikające z niedopasowania między anteną a nadajnikiem. Ściśle rzecz biorąc, aby uwzględnić niedopasowanie, powinien być nazywany zrealizowany zysk, ale to nie jest powszechne stosowanie.
Dla anteny odbiorczej moc dostarczana do odbiornika wynosi
P r = A ( θ , Φ ) W {{displaystyle P_{r}= {A} (∙theta ,∙Phi )W }
.
Tutaj W {{displaystyle W}
jest gęstością mocy promieniowania padającego, a A {displaystyle A}
jest aperturą anteny lub efektywnym obszarem anteny (obszarem, który antena musiałaby zajmować, aby przechwycić obserwowaną moc przechwyconą). Argumenty kierunkowe są teraz względne w stosunku do anteny odbiorczej, i ponownie A {displaystyle A}
jest brane, aby uwzględnić straty omowe i niedopasowania.
Składając te wyrażenia razem, moc przenoszona z nadajnika do odbiornika wynosi
P r = A G 4 π r 2 P t {displaystyle P_{r}=A{frac {G}{4}pi r^{2}}}}P_{t}}
,
gdzie G {displaystyle G}
i A {displaystyle A}
są zależnymi od kierunku właściwościami odpowiednio anteny nadawczej i odbiorczej. Dla transmisji z anteny referencyjnej (2), do anteny testowej (1), czyli P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {displaystyle P_{1r}= {A_{1}}} (\theta ,\Phi ){ {\frac {G_{2}}{4\pi r^{2}}}P_{2t}}.
,
i dla transmisji w kierunku przeciwnym
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {displaystyle P_{2r}=A_{2}{}{}frac {G_{1}}} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}P_{1t}}
.
Tutaj, wzmocnienie G 2 {{displaystyle G_{2}}
oraz obszar efektywny A 2 {displaystyle A_{2}}
anteny 2 są stałe, ponieważ orientacja tej anteny jest stała w stosunku do pierwszej.
Teraz dla danego rozmieszczenia anten, twierdzenie o wzajemności wymaga, aby transfer mocy był jednakowo efektywny w każdym kierunku, tj.
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {displaystyle {P_{1r}}{P_{2t}}}={P_{2r}}{P_{1t}}}}}}
,
whence
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {{displaystyle {{frac {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}={{mathrm {A_{2}}{G_{2}}}}
.
Ale prawa strona tego równania jest stała (bo orientacja anteny 2 jest stała), a więc
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t {{frac {A_{1}} (\theta ,\Phi )}{mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}=mathrm {constant} }
,
tzn. zależności kierunkowe efektywnej apertury (odbiorczej) i wzmocnienia (nadawczego) są identyczne (QED). Ponadto, stała proporcjonalności jest taka sama niezależnie od charakteru anteny, a więc musi być taka sama dla wszystkich anten. Analiza konkretnej anteny (np. dipola Hertziana) pokazuje, że stała ta wynosi λ 2 4 π {{displaystyle {{frac {{lambda ^{2}}{4}pi }}
, gdzie λ {frac {lambda }
jest długością fali w wolnej przestrzeni. Stąd, dla dowolnej anteny zysk i efektywna apertura są powiązane przez A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π { {displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )={frac {{lambda ^{2}} \mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi }}
.
Nawet w przypadku anteny odbiorczej bardziej typowe jest podawanie zysku niż określanie efektywnej apertury. Moc dostarczana do odbiornika jest więc częściej zapisywana jako
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {{displaystyle P_{r}={ {frac {lambda ^{2}G_{r}G_{t}}{(4 π r)^{2}}}}P_{t}}
(patrz link budżetowy). Efektywna apertura jest jednak interesująca dla porównania z rzeczywistym fizycznym rozmiarem anteny.
Konsekwencje praktyczneEdit
- Przy wyznaczaniu charakterystyki anteny odbiorczej za pomocą symulacji komputerowej nie jest konieczne wykonywanie obliczeń dla każdego możliwego kąta padania. Zamiast tego, schemat promieniowania anteny jest określany przez pojedynczą symulację, a schemat odbioru wnioskowany przez wzajemność.
- Przy określaniu schematu anteny przez pomiar, antena może być albo odbiorcza, albo nadawcza, w zależności od tego, co jest wygodniejsze.
- Dla praktycznej anteny, poziom listków bocznych powinien być minimalny, konieczne jest posiadanie maksymalnej kierunkowości.