Pierścień

Pierścień w sensie matematycznym to zbiór wraz z dwoma operatorami binarnymi i (potocznie interpretowanymi jako odpowiednio dodawanie i mnożenie) spełniającymi następujące warunki:

1. Asocjatywność addytywna: Dla wszystkich , ,

2. komutatywność addytywna: Dla wszystkich , ,

3. addytywna identyczność: Istnieje element taki, że dla wszystkich , ,

4. addytywna odwrotność: Dla każdego istnieje taki, że ,

5. Rozdzielność lewostronna i prawostronna: Dla wszystkich , i ,

6. Asocjatywność multiplikatywna: Dla wszystkich , (pierścień spełniający tę własność nazywany jest niekiedy wprost pierścieniem asocjacyjnym).

Wymagane są zawsze warunki 1-5. Chociaż istnieją pierścienie niesocjacyjne, praktycznie wszystkie teksty wymagają również warunku 6 (Itô 1986, s. 1369-1372; s. 418; Zwillinger 1995, s. 141-143; Harris i Stocker 1998; Knuth 1998; Korn i Korn 2000; Bronshtein i Semendyayev 2004).

Pierścienie mogą również spełniać różne warunki opcjonalne:

7. komutatywność multiplikatywna: Dla wszystkich , (pierścień spełniający tę własność nazywamy pierścieniem komutatywnym),

8. Multiplikatywna identyczność: Istnieje element taki, że dla wszystkich , (pierścień spełniający tę własność jest określany mianem pierścienia jednostkowego, lub czasem „pierścienia z tożsamością”),

9. Odwrotność multiplikatywna: Dla każdego w , istnieje element taki, że dla wszystkich , , gdzie 1 jest elementem tożsamości.

Pierścień spełniający wszystkie dodatkowe własności 6-9 nazywamy polem, natomiast taki, który spełnia tylko dodatkowe własności 6, 8 i 9 nazywamy algebrą podziału (lub polem skośnym).

Niektórzy autorzy odchodzą od normalnej konwencji i wymagają (w ramach swojej definicji), aby pierścień zawierał dodatkowe własności. Na przykład, Birkhoff i Mac Lane (1996) definiują pierścień tak, aby posiadał tożsamość multiplikatywną (tj. własność 8).

Istnieje szereg przykładów pierścieni nie spełniających określonych warunków:

1. Bez multiplikatywnej asocjatywności (czasami nazywane też algebrami nieasocjatywnymi): oktoniony, OEIS A037292,

2. Bez multiplikatywnej komutatywności: Real-valued matrices, quaternions,

3. Bez multiplikatywnej identyczności: Liczby całkowite parzystowartościowe,

4. Bez odwrotności multiplikatywnej: Liczby całkowite.

Słowo ring jest skrótem od niemieckiego słowa 'Zahlring’ (pierścień liczbowy). Francuskie słowo na pierścień to anneau, a współczesne niemieckie słowo to Ring, oba oznaczające (nie tak zaskakująco) „pierścień”. Fraenkel (1914) podał pierwszą abstrakcyjną definicję pierścienia, choć praca ta nie wywarła większego wpływu. Termin ten został wprowadzony przez Hilberta do opisu pierścieni takich jak

Przez sukcesywne mnożenie nowego elementu , w końcu zapętla się on, by stać się czymś już wygenerowanym, czymś w rodzaju pierścienia, czyli jest nowe, ale jest liczbą całkowitą. Wszystkie liczby algebraiczne mają tę własność, np. spełnia .

Pierścień musi zawierać co najmniej jeden element, ale nie musi zawierać tożsamości multiplikatywnej lub być komutatywny. Liczby skończonych pierścieni o elementach dla , 2, …, są 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, …. (OEIS A027623 i A037234; Fletcher 1980). Jeśli i są pierwsze, to istnieją dwa pierścienie o rozmiarze , cztery pierścienie o rozmiarze , 11 pierścieni o rozmiarze (Singmaster 1964, Drezno), 22 pierścienie o rozmiarze , 52 pierścienie o rozmiarze dla i 53 pierścienie o rozmiarze dla (Ballieu 1947, Gilmer i Mott 1973; Drezno).

Pierścień, który jest komutatywny przy mnożeniu, ma element jednostkowy i nie ma dzielników zera nazywamy domeną całkową. Pierścień, którego niezerowe elementy tworzą komutatywną grupę mnożenia, nazywamy polem. Najprostszymi pierścieniami są liczby całkowite , wielomiany i w jednej i dwóch zmiennych oraz kwadratowe macierze rzeczywiste.

Pierścienie, które zostały zbadane i uznane za interesujące, są zwykle nazywane imionami jednego lub więcej ich badaczy. Ta praktyka prowadzi niestety do nazw, które dają bardzo mały wgląd w istotne własności powiązanych pierścieni.

Renteln i Dundes (2005) podają następujący (zły) żart matematyczny o pierścieniach:

Q: Co to jest grupa abelianowa w dodawaniu, zamknięta, asocjacyjna, dystrybucyjna i obarczona klątwą? O: Pierścień Nibelunga.