Istnieją 3 podstawowe operacje używane na wierszach macierzy, gdy używasz macierzy do rozwiązania układu równań liniowych . Celem jest zazwyczaj uzyskanie lewej części macierzy, aby wyglądała jak macierz tożsamości .
Te trzy operacje to:
- Przełączanie wierszy
- Mnożenie wiersza przez liczbę
- Dodawanie wierszy
Przełączanie wierszy
Można przełączać wiersze macierzy, aby otrzymać nową macierz.
→
W powyższym przykładzie przesuwamy wiersz 1 do wiersza 2 , wiersz 2 do wiersza 3 , a wiersz 3 do wiersza 1 . (Powodem tego jest uzyskanie 1 w lewym górnym rogu.)
Mnożenie wiersza przez liczbę
Możesz pomnożyć dowolny wiersz przez liczbę. (Oznacza to pomnożenie każdego wpisu w wierszu przez tę samą liczbę.)
→ R 3 : 1 3 R 3
W tym przykładzie pomnożyliśmy wiersz 3 macierzy przez 1 3 . (To daje nam 1, której potrzebujemy w wierszu 3 , kolumnie 3 .)
Dodawanie wierszy
Można również dodać dwa wiersze razem i zastąpić wiersz wynikiem.
Na przykład, w macierzy, która powstała w ostatnim przykładzie, możemy dodać wiersze 2 i 3 razem, pozycja po pozycji:
+ _
Następnie zastępujemy wiersz 2 wynikiem.
→ R 2 : R 2 + R 3
Dodawanie wielokrotności wierszy
Powiedzieliśmy, że są tylko trzy operacje, i są. Ale używając dwóch ostatnich operacji w połączeniu, możemy dodać całe wielokrotności rzędów do innych rzędów, aby wszystko poszło szybciej.
Cofnij się o krok, więc mamy macierz:
Teraz zamiast po prostu dodawać wiersz 2 + wiersz 3 , dodaj wiersz 2 + ( 2 × wiersz 3 ) :
+ _
Następnie zastąp wiersz 2 wynikiem.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
W ten sposób otrzymujemy 0 w Wierszu 2 , Kolumnie 3 .
Możemy to zrobić ponownie, aby uzyskać 0 w Wierszu 2 , Kolumna 1 . Tutaj mnożymy Wiersz 1 przez – 2 , dodajemy go Wiersz 2 i zastępujemy Wiersz 2 z wynikiem.
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
Pokażemy jeszcze kilka kroków, aby otrzymać po lewej stronie macierz tożsamości 3 × 3 (a więc rozwiązać układ).
Następnym krokiem jest dodanie wiersza 2 + ( 4 × wiersz 3 ), aby uzyskać 0 w wierszu 2 , kolumnie 3 .
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
Następnie potrzebujemy zera w Wierszu 1 , Kolumnie 3 .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
Ostatni krok jest po prostu zastosowaniem drugiej operacji, mnożenia wiersza przez liczbę.
→ 1 3 R 3
Mamy teraz rozwiązanie w postaci uporządkowanej trójki ( 1 , 0 , – 2 ) .
Ważna uwaga: Jeśli równania reprezentowane przez twoją oryginalną macierz reprezentują identyczne lub równoległe linie, nie będziesz w stanie uzyskać macierzy tożsamości za pomocą tych operacji na rzędach. W tym przypadku rozwiązanie albo nie istnieje, albo istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego systemu.