Leibniz

7.8.1 Elastyczność popytu

Elastyczność cenowa popytu mierzy wrażliwość ilości żądanej na cenę: mówi nam, jaka jest procentowa zmiana ilości żądanej, gdy cena zmieni się o 1%. W tej pracy Leibniza definiujemy elastyczność za pomocą rachunku i pokazujemy, jak decyzje cenowe firmy zależą od elastyczności popytu, z którym się spotyka.

Istnieją dwa sposoby zapisu funkcji popytu. Poprzednio opisaliśmy popyt na Piękne Samochody za pomocą odwrotnej funkcji popytu:

gdzie jest cena, po której firma może sprzedać dokładnie samochody. Aby określić elastyczność, wygodniej jest zapisać funkcję popytu w postaci bezpośredniej:

to ilość Pięknych Samochodów, na które jest popyt, jeśli cena wynosi . (Funkcja jest odwrotnością funkcji ; matematycznie, możemy napisać .)

Pochodna funkcji popytu jest . Jest to jeden ze sposobów mierzenia, jak bardzo zmienia się popyt konsumpcyjny w odpowiedzi na zmianę ceny. Ale nie jest to bardzo przydatna miara, ponieważ zależy od jednostek, w których i są mierzone. Na przykład, otrzymalibyśmy inną odpowiedź, gdyby cena była w euro, a nie w dolarach.

Zamiast tego, zdefiniowaliśmy elastyczność cenową popytu w tekście jako:

Jest to bardziej użyteczna miara reakcji popytu na cenę. Z definicji widać, że jest ona niezależna od jednostek miary. Jest ona jednak ściśle związana z pochodną – aby się o tym przekonać, załóżmy, że cena zmienia się z do , powodując zmianę ilości popytu z do . Procentowa zmiana ceny wynosi , a procentowa zmiana ilości wynosi . Podstawiając je do wyrażenia na elastyczność, otrzymujemy:

Przyjęcie granicy tego wyrażenia jako daje nam rachunkową definicję elastyczności cenowej popytu, którą oznaczamy jako w tekście:

A ponieważ , elastyczność można również zapisać jako:

Zauważmy, że wartość elastyczności jest zwykle dodatnia, ponieważ zgodnie z prawem popytu pochodna funkcji popytu będzie ujemna.

Po zdefiniowaniu w ten sposób, przy użyciu rachunku, jest tylko w przybliżeniu taka sama jak nasza pierwotna definicja elastyczności jako procentowego spadku ilości żądanej, gdy cena wzrasta o 1%. Ale przy rozsądnym założeniu, że 1% to niewielka ilość, jest to bliskie przybliżenie i często interpretujemy to w ten sposób.

Rozważmy funkcję popytu:

Tutaj,

W tym konkretnym przypadku, elastyczność popytu jest stała-jest równa we wszystkich punktach na krzywej popytu.

W ogólności, elastyczności nie są stałe. Różnią się one w miarę przesuwania się wzdłuż krzywej popytu. Ale powyższy przykład ilustruje szczególny przypadek. Jeśli postać funkcji popytu jest , gdzie i są dodatnimi stałymi, elastyczność popytu jest . Jest to jedyna klasa funkcji popytu, dla której elastyczność jest stała.

Wyrażanie elastyczności w kategoriach ilości

Inne wyrażenie elastyczności popytu można uzyskać poprzez powrót do odwrotności funkcji popytu . Zgodnie z regułą odwrotności funkcji,

tak

Drugi przykład: załóżmy, że Beautiful Cars ma odwrotną funkcję popytu

jak na rysunku 7.15 w tekście. Korzystając z powyższego wyrażenia, elastyczność popytu wynosi:

Alternatywnie, możemy wyrazić elastyczność w kategoriach ceny: , więc

Z każdego z tych dwóch wyrażeń dla wynika, że spada ona w miarę przesuwania się w prawo wzdłuż krzywej popytu, zwiększając się i zmniejszając . Tak jest w przypadku każdej liniowej funkcji popytu, co jest wynikiem tego, że zbliża się jak zbliża się i zbliża się jak zbliża się do swojej maksymalnej wartości, gdzie . Zatem jeśli Beautiful Cars sprzedaje tylko dwa samochody dziennie przy cenie 7 840 dolarów, elastyczność popytu wynosi 49; natomiast jeśli firma sprzedaje 95 samochodów dziennie, pobierając tylko 400 dolarów za samochód, do trzech miejsc po przecinku.

Elastyczność i przychód krańcowy

Widzieliśmy w Leibniz 7.6.1, że jeśli odwrotna funkcja popytu Beautiful Cars jest , to jej funkcja przychodu jest

i że przychód krańcowy (MR) jest zdefiniowany w następujący sposób:

Opisując to wyrażenie za pomocą wzoru i korzystając z faktu, że , widzimy, że istnieje związek między przychodem krańcowym a elastycznością popytu:

Z tego wynika, że przychód krańcowy będzie dodatni, jeśli , ujemny, jeśli .

Jak zauważono w tekście, mówi się, że popyt jest elastyczny, jeśli , nieelastyczny, jeśli . Drugi przykład pokazuje, że popyt może być elastyczny i nieelastyczny w różnych punktach tej samej krzywej popytu. To, co właśnie pokazaliśmy, to fakt, że przychód krańcowy jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy firma działa na tej części krzywej popytu, gdzie popyt jest elastyczny. W szczególności będzie tak, jeśli firma maksymalizuje swój zysk i dlatego wybiera swoją produkcję tak, aby zrównać przychód krańcowy i koszt krańcowy, ponieważ koszt krańcowy jest dodatni.

Marża

Przypomnijmy sobie z 7.6.1 Leibniza, że warunkiem pierwszego rzędu dla maksymalizacji zysku jest , gdzie jest kosztem krańcowym. Używając wzoru na przychody krańcowe, który właśnie wyprowadziliśmy, możemy zapisać warunek pierwszego rzędu w następujący sposób:

Przywracając,

Lewa strona tego równania to marża firmy – czyli marża zysku jako część ceny. Równanie mówi nam, że narzut (w punkcie maksymalizacji zysku) będzie tym większy, im mniejsza będzie elastyczność popytu. Na przykład, jeśli elastyczność popytu jest na poziomie optimum, to narzut wynosi , natomiast elastyczność popytu równa oznacza, że narzut wynosi , więc firma ustali swoją cenę na poziomie pięciokrotności kosztu krańcowego. Odwrotną zależność między narzutem a elastycznością cenową popytu ilustrują rysunki 7.16 i 7.17 z tekstu, odtworzone poniżej jako rysunek 1.

Elastyczność w ogólności

Elastyczność jest ogólnym pojęciem matematycznym, choć o ile nam wiadomo, posługują się nim tylko ekonomiści. Załóżmy, że mamy różniczkowalną funkcję , gdzie i przyjmują tylko wartości dodatnie. Elastyczność w odniesieniu do może być zdefiniowana jako:

Jest to granica stosunku

jak mianownik zbliża się do zera. Alternatywą, którą zastosowaliśmy w przypadku cenowej elastyczności popytu, jest zdefiniowanie elastyczności jako wartości bezwzględnej tej granicy.

Czytaj dalej: Sekcje 6.4 i 7.4 w Malcolm Pemberton i Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.

.