Sumy częściowe 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ wynoszą 1, 3, 7, 15, …; ponieważ są one rozbieżne do nieskończoności, to szereg również.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {{displaystyle 2^{0}+2^{1}+ ⋯ +2^{k}=2^{k+1}-1}
Więc każda całkowicie regularna metoda sumowania daje sumę nieskończoności, w tym sumę Cesàro i sumę Abela. Z drugiej strony, istnieje co najmniej jedna ogólnie użyteczna metoda, która sumuje 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ do skończonej wartości -1. Związany z nią szereg potęgowy
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {{displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+ {{cdots +2^{n}{}x^{n}+{cdots ={{frac {1}{1-2x}}}}.
ma promień zbieżności wokół 0 równy tylko 1/2, więc nie jest zbieżna przy x = 1. Mimo to, zdefiniowana w ten sposób funkcja f ma unikalną kontynuację analityczną na płaszczyźnie zespolonej z usuniętym punktem x = 1/2 i jest ona dana tą samą regułą f(x) = 1/1 – 2x. Ponieważ f(1) = -1, mówi się, że oryginalny szereg 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ jest sumowalny (E) do -1, a -1 jest sumą (E) tego szeregu. (Notacja zawdzięczamy G. H. Hardy’emu w odniesieniu do podejścia Leonharda Eulera do szeregów rozbieżnych).
Prawie identyczne podejście (to, które przyjął sam Euler) polega na rozważeniu szeregu potęgowego, którego wszystkie współczynniki wynoszą 1, tj.e.
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {{displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}}+} ={{frac {1}{1-y}}}
i wstawiając y = 2. Te dwa szeregi są powiązane przez podstawienie y = 2x.
Fakt, że (E) sumowanie przypisuje skończoną wartość do 1 + 2 + 4 + 8 + … pokazuje, że ogólna metoda nie jest całkowicie regularna. Z drugiej strony posiada ona pewne inne pożądane cechy dla metody sumowania, w tym stabilność i liniowość. Te dwa ostatnie aksjomaty właściwie zmuszają sumę do bycia -1, ponieważ sprawiają, że następująca manipulacja jest ważna:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s { {begin{array}{rcl}s&=& } 1+2+4+8+16+kropki \\\\\}}1+2(1+2+4+8+kropki )\\\\\\>=&displaystyle 1+2send{array}}
W użytecznym sensie, s = ∞ jest pierwiastkiem z równania s = 1 + 2s. (Na przykład, ∞ jest jednym z dwóch punktów stałych transformacji Möbiusa z → 1 + 2z na sferze Riemanna). Jeśli wiadomo, że jakaś metoda sumowania zwraca zwykłą liczbę dla s, tzn. nie ∞, to łatwo ją wyznaczyć. W tym przypadku s może być odjęte od obu stron równania, dając 0 = 1 + s, więc s = -1.
Powyższa manipulacja może być wywołana w celu uzyskania -1 poza kontekstem wystarczająco potężnej procedury sumowania. Dla najbardziej znanych i prostych koncepcji sum, w tym fundamentalnej zbieżnej, absurdalne jest to, że seria dodatnich członów może mieć wartość ujemną. Podobne zjawisko występuje w przypadku rozbieżnego szeregu geometrycznego 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯, gdzie szereg liczb całkowitych wydaje się mieć niecałkowitą sumę 1/2. Te przykłady ilustrują potencjalne niebezpieczeństwo w stosowaniu podobnych argumentów do szeregów implikowanych przez takie powtarzające się liczby dziesiętne jak 0,111… i przede wszystkim 0,999…. Argumenty są ostatecznie uzasadnione dla tych zbieżnych serii, implikując, że 0,111… = 1/9 i 0,999… = 1, ale podstawowe dowody wymagają starannego myślenia o interpretacji nieskończonych sum.
Jest również możliwe, aby zobaczyć ten szereg jako zbieżne w systemie liczbowym innym niż liczby rzeczywiste, a mianowicie, liczby 2-adic. Jako szereg liczb 2-adycznych szereg ten zbiega do tej samej sumy, -1, jak to zostało wyprowadzone powyżej przez kontynuację analityczną.
.