Art de la résolution de problèmes

Une équation diophantienne est une équation mettant en relation des quotients entiers (ou parfois des nombres naturels ou entiers).

Trouver la ou les solutions d’une équation diophantienne est étroitement lié à l’arithmétique modulaire et à la théorie des nombres. Souvent, lorsqu’une équation diophantienne a une infinité de solutions, la forme paramétrique est utilisée pour exprimer la relation entre les variables de l’équation.

Les équations diophantiennes sont nommées pour l’ancien mathématicien grec/lexandrin Diophantus.

Combinaison linéaire

Une équation diophantienne de la forme est connue comme une combinaison linéaire. Si deux entiers relativement premiers et sont écrits sous cette forme avec , l’équation aura un nombre infini de solutions. Plus généralement, il y aura toujours un nombre infini de solutions lorsque . Si , alors il n’y a pas de solutions à l’équation. Pour voir pourquoi, considérez l’équation . est un diviseur de la LHS (remarquez également que doit toujours être un nombre entier). Cependant, ne sera jamais un multiple de , donc, il n’existe pas de solutions.

Envisageons maintenant le cas où . Ainsi, . Si et sont relativement premiers, alors toutes les solutions sont évidemment de la forme pour tous les entiers . Si elles ne le sont pas, on les divise simplement par leur plus grand diviseur commun.

Triples pythagoriciens

Article principal : Triples pythagoriciens

Un triple pythagoricien est un ensemble de trois entiers qui satisfont le théorème de Pythagore, . Il existe trois méthodes principales pour trouver les triplets pythagoriciens :

Méthode de Pythagore

Si est un nombre impair, alors est un triplet pythagoricien.

Méthode de Platon

Si , est un triplet pythagoricien.

Méthode babylonienne

Pour tout , on a est un triple pythagoricien.

Somme des puissances quatrièmes

Une équation de la forme n’a pas de solutions entières, comme suit :On suppose que l’équation a bien des solutions entières, et on considère la solution qui minimise . Soit cette solution . Si alors leur PGCD doit satsifier . La solution serait alors une solution inférieure à , ce qui contredit notre hypothèse. Ainsi, cette équation n’a pas de solutions entières.

Si , on procède alors à la casse, en .

Notez que tout carré, et donc toute puissance quatrième, est soit soit . La preuve en est assez simple, et vous pouvez la démontrer vous-même.

Cas 1 :

Cela impliquerait , une contradiction.

Cas 2 :

Cela impliquerait , une contradiction puisque nous avons supposé .

Cas 3 : , et

Nous savons également que les carrés sont soit soit . Ainsi, toutes les puissances quartes sont soit , soit .

Par une approche similaire, on montre que :

, donc .

C’est une contradiction, car implique que est impair, et implique que est pair. QED

Équations de Pell

Article principal : Équation de Pell

Une équation de Pell est un type d’équation diophantienne de la forme pour le nombre naturel . Les solutions de l’équation de Pell lorsque n’est pas un carré parfait sont liées à l’expansion de la fraction continue de . Si est la période de la fraction continue et est le e convergent, toutes les solutions de l’équation de Pell sont de la forme pour l’entier positif .

Méthodes de résolution

Plan de coordonnées

Notez que toute combinaison linéaire peut être transformée en l’équation linéaire , qui est juste l’équation de l’intersection des pentes pour une droite. Les solutions de l’équation diophantienne correspondent aux points du treillis qui se trouvent sur la ligne. Par exemple, considérons l’équation ou . Une solution est (0,1). Si vous faites un graphique de la ligne, il est facile de voir que la ligne coupe un point de treillis lorsque x et y augmentent ou diminuent du même multiple de et , respectivement (formulation ?). Par conséquent, les solutions de l’équation peuvent être écrites de manière paramétrique (si l’on considère comme un « point de départ »).

Arithmétique modulaire

Parfois, l’arithmétique modulaire peut être utilisée pour prouver qu’il n’existe pas de solutions à une équation diophantienne donnée. Plus précisément, si nous montrons que l’équation en question n’est jamais vraie mod , pour un certain nombre entier , alors nous avons montré que l’équation est fausse. Cependant, cette technique ne peut pas être utilisée pour montrer que des solutions à une équation diophantienne existent.

Induction

Parfois, lorsque quelques solutions ont été trouvées, l’induction peut être utilisée pour trouver une famille de solutions. Des techniques telles que la Descente infinie peuvent également montrer qu’il n’existe pas de solutions à une équation particulière, ou qu’il n’existe pas de solutions en dehors d’une famille particulière.

Solutions générales

Il est naturel de se demander s’il existe une solution générale pour les équations diophantiennes, c’est-à-dire un algorithme qui trouvera les solutions pour toute équation diophantienne donnée. Cette question est connue sous le nom de dixième problème de Hilbert. La réponse, cependant, est non.

Dernier théorème de Fermat

Article principal : Le dernier théorème de Fermat

est connu comme le dernier théorème de Fermat pour la condition . Dans les années 1600, Fermat, alors qu’il travaillait sur un livre sur les équations diophantiennes, a écrit un commentaire dans les marges à l’effet de « J’ai une preuve vraiment merveilleuse de cette proposition que cette marge est trop étroite pour contenir. » Fermat a en fait émis de nombreuses conjectures et proposé de nombreux « théorèmes », mais il n’était pas du genre à écrire les preuves ou autre chose que des commentaires griffonnés. Après sa mort, toutes ses conjectures ont été prouvées à nouveau (qu’elles soient fausses ou vraies), à l’exception du dernier théorème de Fermat. Après plus de 350 ans d’échec à être prouvé, le théorème a finalement été prouvé par Andrew Wiles après qu’il ait passé plus de 7 ans à travailler sur la preuve de 200 pages, et une autre année à corriger une erreur dans la preuve originale.

Problèmes

Introduction

Deux fermiers sont d’accord pour dire que les porcs valent dollars et que les chèvres valent dollars. Lorsqu’un agriculteur doit de l’argent à l’autre, il paie la dette en porcs ou en chèvres, la « monnaie » étant reçue sous forme de chèvres ou de porcs selon les besoins. (Par exemple, une dette de dollars pourrait être payée avec deux cochons, avec une chèvre reçue en monnaie). Quel est le montant de la plus petite dette positive qui peut être résolue de cette façon ?