Il existe 3 opérations de base utilisées sur les lignes d’une matrice lorsque vous utilisez la matrice pour résoudre un système d’équations linéaires . L’objectif est généralement d’obtenir que la partie gauche de la matrice ressemble à la matrice d’identité .
Les trois opérations sont :
- Commutation de rangées
- Multiplication d’une rangée par un nombre
- Addition de rangées
Commutation de rangées
Vous pouvez commuter les rangées d’une matrice pour obtenir une nouvelle matrice.
→
Dans l’exemple présenté ci-dessus, nous déplaçons la rangée 1 vers la rangée 2 , la rangée 2 vers la rangée 3 , et la rangée 3 vers la rangée 1 . (La raison de faire cela est d’obtenir un 1 dans le coin supérieur gauche.)
Multiplication d’une rangée par un nombre
Vous pouvez multiplier toute rangée par un nombre. (Cela signifie que vous devez multiplier chaque entrée de la rangée par le même nombre.)
→ R 3 : 1 3 R 3
Dans cet exemple, nous avons multiplié la rangée 3 de la matrice par 1 3 . (Cela nous donne le 1 dont nous avons besoin dans la rangée 3 , colonne 3 .)
Ajout de rangées
Vous pouvez également ajouter deux rangées ensemble, et remplacer une rangée par le résultat.
Par exemple, dans la matrice qui a donné lieu au dernier exemple, on peut additionner les rangées 2 et 3, entrée par entrée :
+ _
Ensuite, nous remplaçons la rangée 2 par le résultat.
→ R 2 : R 2 + R 3
Ajout de multiples de rangées
Nous avons dit qu’il n’y avait que trois opérations, et c’est le cas. Mais en utilisant les deux dernières opérations en combinaison, nous pouvons ajouter des multiples entiers de rangées à d’autres rangées, pour que les choses aillent plus vite.
Revenez en arrière d’une étape, donc nous avons la matrice :
Maintenant, au lieu de simplement ajouter la rangée 2 + la rangée 3, ajoutez la rangée 2 + ( 2 × rangée 3 ) :
+ _
Puis remplacez la rangée 2 par le résultat.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
De cette façon, on obtient un 0 dans la rangée 2 , colonne 3 .
Nous pouvons le faire à nouveau pour obtenir un 0 dans la rangée 2 , colonne 1 . Ici, nous multiplions la rangée 1 par – 2 , nous l’ajoutons à la rangée 2 , et nous remplaçons la rangée 2 par le résultat.
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
Nous allons montrer quelques étapes supplémentaires, pour obtenir la matrice identité 3 × 3 à gauche (et donc résoudre le système).
L’étape suivante consiste à ajouter la rangée 2 + ( 4 × rangée 3 ) pour obtenir un 0 dans la rangée 2 , colonne 3 .
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
Ensuite, il faut un zéro dans la rangée 1 , colonne 3 .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
La dernière étape est juste une application de la deuxième opération, la multiplication d’une ligne par un nombre.
→ 1 3 R 3
Nous avons maintenant la solution sous forme de triplet ordonné ( 1 , 0 , – 2 ) .
Remarque importante : si les équations représentées par votre matrice d’origine représentent des lignes identiques ou parallèles, vous ne pourrez pas obtenir la matrice d’identité en utilisant ces opérations sur les lignes. Dans ce cas, soit la solution n’existe pas, soit il y a une infinité de solutions au système.