Leibniz

7.8.1 L’élasticité de la demande

L’élasticité de la demande par rapport au prix mesure la sensibilité de la quantité demandée au prix : elle nous indique le pourcentage de variation de la quantité demandée lorsque le prix change de 1%. Dans ce Leibniz, nous définissons l’élasticité en utilisant le calcul, et nous montrons comment les décisions de prix d’une entreprise dépendent de l’élasticité de la demande à laquelle elle est confrontée.

Il y a deux façons d’écrire une fonction de demande. Précédemment, nous avons décrit la demande de belles voitures en utilisant la fonction de demande inverse :

où est le prix auquel l’entreprise peut vendre exactement des voitures. Pour définir l’élasticité, il est plus pratique d’écrire la fonction de demande sous sa forme directe:

est la quantité de Belles Voitures demandée si le prix est . (La fonction est la fonction inverse de ; mathématiquement, on peut écrire .)

La dérivée de la fonction de demande est . C’est une façon de mesurer combien la demande des consommateurs change en réponse à un changement de prix. Mais ce n’est pas une mesure très utile, car elle dépend des unités dans lesquelles et sont mesurés. Par exemple, nous obtiendrions une réponse différente si le prix était en euros, plutôt qu’en dollars.

A la place, nous avons défini l’élasticité de la demande par rapport au prix dans le texte comme :

C’est une mesure plus utile de la réactivité de la demande au prix. Vous pouvez voir dans la définition qu’elle est indépendante des unités de mesure. Mais elle est étroitement liée à la dérivée – pour le voir, supposons que le prix passe de à , entraînant une variation de la quantité demandée de à . La variation en pourcentage du prix est de , et la variation en pourcentage de la quantité est de . En les substituant dans l’expression de l’élasticité, on obtient :

En prenant la limite de cette expression comme , on obtient la définition de calcul de l’élasticité de la demande par rapport au prix, que nous désignons par comme dans le texte :

Et puisque , l’élasticité peut aussi s’écrire comme :

Notez que la valeur de l’élasticité est normalement positive, puisque selon la loi de la demande, la dérivée de la fonction de demande sera négative.

Lorsqu’elle est définie ainsi, en utilisant le calcul, n’est qu’approximativement la même que notre définition initiale de l’élasticité comme la baisse en pourcentage de la quantité demandée lorsque le prix augmente de 1%. Mais en supposant raisonnablement que 1% est une petite quantité, c’est une approximation proche, et nous l’interprétons souvent de cette façon.

Considérez la fonction de demande :

Ici,

Dans ce cas particulier, l’élasticité de la demande est constante – elle est égale à en tous points de la courbe de demande.

En général, les élasticités ne sont pas constantes. Elles varient au fur et à mesure que l’on se déplace le long de la courbe de demande. Mais l’exemple ci-dessus illustre un cas particulier. Si la forme de la fonction de demande est , où et sont des constantes positives, l’élasticité de la demande est . C’est la seule classe de fonctions de demande pour laquelle l’élasticité est constante.

Expression de l’élasticité en termes de quantité

Une autre expression de l’élasticité de la demande peut être obtenue en revenant à la fonction de demande inverse . Par la règle de la fonction inverse,

ainsi

Un deuxième exemple : supposons que Beautiful Cars fait face à la fonction de demande inverse

comme dans la figure 7.15 du texte. En utilisant l’expression ci-dessus, l’élasticité de la demande est :

Alternativement, nous pouvons exprimer l’élasticité en termes de prix : , donc

Chacune des deux expressions de montre qu’elle diminue lorsqu’on se déplace vers la droite le long de la courbe de demande, augmentant et réduisant . Il en est ainsi pour toute fonction de demande linéaire, comme le résultat qui s’approche de et se rapproche de sa valeur maximale, où . Ainsi, si Beautiful Cars ne vend que deux voitures par jour à un prix de 7 840 $, l’élasticité de la demande est de 49 ; alors que si l’entreprise vend 95 voitures par jour en ne demandant que 400 $ par voiture, à trois décimales près.

Elasticité et revenu marginal

Nous avons vu dans Leibniz 7.6.1 que si la fonction de demande inverse de Beautiful Cars est , sa fonction de revenu est

et que la recette marginale (RM) est définie comme suit :

En réécrivant cette expression à l’aide de la formule et en utilisant le fait que , on voit qu’il existe une relation entre la recette marginale et l’élasticité de la demande :

Cela implique que la recette marginale sera positive si , négative si .

Comme on l’a noté dans le texte, la demande est dite élastique si , inélastique si . Le deuxième exemple montre que la demande peut être élastique et inélastique en différents points d’une même courbe de demande. Ce que nous venons de montrer, c’est que la recette marginale est positive si, et seulement si, l’entreprise opère sur la partie de la courbe de demande où la demande est élastique. En particulier, ce sera le cas si la firme maximise son profit et choisit donc sa production pour égaliser la recette marginale et le coût marginal, puisque le coût marginal est positif.

La majoration

Rappelons de Leibniz 7.6.1 que la condition de premier ordre pour la maximisation du profit est , où est le coût marginal. En utilisant la formule pour le revenu marginal que nous venons de dériver, nous pouvons écrire la condition de premier ordre comme suit :

En réarrangeant,

Le côté gauche de cette équation est le taux de marge de l’entreprise – c’est-à-dire la marge de profit en proportion du prix. L’équation nous indique que le taux de marge (au point de maximisation du profit) sera d’autant plus élevé que l’élasticité de la demande est faible. Par exemple, si l’élasticité de la demande est optimale, le taux de marge est de , tandis qu’une élasticité de la demande de signifie que le taux de marge est de , de sorte que l’entreprise fixera son prix à cinq fois le coût marginal. La relation inverse entre la majoration et l’élasticité de la demande par rapport au prix est illustrée par les figures 7.16 et 7.17 du texte, reproduites ci-dessous sous forme de figure 1.