BIBLIOGRAPHIE
Dans un problème d’optimisation, il existe une fonction (à valeur réelle) qui doit être maximisée ou minimisée. Cette fonction est fréquemment appelée fonction objectif, un terme qui semble être apparu dans le domaine de la planification et de la programmation, en particulier la programmation linéaire, grâce aux travaux du mathématicien George Dantzig (1914-2005). Avant 1947, date à laquelle Dantzig a inventé le problème de la programmation linéaire et la méthode du simplexe pour le résoudre, les plans logistiques militaires, appelés « programmes », impliquaient une prise de décision à grande échelle basée sur des règles de base. Dantzig a créé des modèles mathématiques pour capturer les conditions qui devaient être satisfaites et un critère pour choisir une solution réalisable plutôt qu’une autre. Il a ainsi apporté une contribution importante à un domaine d’activité essentiel. Dantzig a inauguré une nouvelle ère dans la prise de décision et a fait apparaître le terme de fonction objectif comme une expression mathématique numérique de l’objectif qui devait être atteint par le programme.
Donc, une fonction objectif mesure la « bonté » d’un vecteur réalisable, c’est-à-dire un vecteur dont les coordonnées satisfont toutes les conditions latérales imposées, le cas échéant. Pour illustrer, dans un problème de programmation linéaire,
la fonction objectif est la forme linéaire p 1x 1 + p 2x 2 + … + pnxn, qui pourrait, par exemple, mesurer le revenu total résultant des ventes dans les montants x1, x2, …, xn aux prix unitaires p 1, p 2, … pn. Les inégalités de cette illustration représentent des conditions latérales (ou contraintes) sur les variables x 1, x 2, …, xn.
Cela ne veut pas dire que toutes les fonctions objectives (ou toutes les contraintes) sont de ce type. Elles peuvent être linéaires ou non linéaires, selon la façon dont la bonté est définie dans le contexte appliqué. La fonction minimisée dans une estimation de paramètres par le critère des « moindres carrés » est un exemple de fonction objective non linéaire (en fait quadratique). Dans les problèmes de ce type, les « variables » en question peuvent être « libres » (sans contrainte) ou contraintes. Dans le cas non linéaire, la convexité (ou son absence) devient une question importante du point de vue de la théorie de l’optimisation.
Le concept sous-jacent d’une fonction objectif – sous un nom différent ou sans nom du tout – existait depuis des siècles avant que Dantzig n’introduise cette terminologie particulière. Il suffit de se rappeler la méthode des multiplicateurs conçue par Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) pour les problèmes d’optimisation sous contrainte d’égalité. De nombreux termes synonymes sont utilisés. Parmi les plus abstraits, on trouve maximand pour les problèmes de maximisation et minimand pour les problèmes de minimisation. Ces termes peuvent être utilisés dans les problèmes d’optimisation respectifs, quelle que soit l’application. Dans des domaines appliqués tels que l’économétrie, on trouve le terme de fonction de critère. D’autres termes ayant un lien évident avec l’économie sont la fonction de bien-être social, la fonction de bien-être économique, la fonction de perte et la fonction de profit. D’autres exemples provenant d’autres domaines sont la fonction de distance et la valeur de flux ; le point étant que le terme utilisé à la place de fonction objective pourrait faire référence à ce qu’il mesure.
Voir aussi Koopmans, Tjalling ; Maximisation ; Préférences ; Préférences, interdépendantes ; Modèles principal-agent ; Programmation, linéaire et non linéaire ; Rationalité ; Agent représentatif ; Fonctions de bien-être social ; Fonction d’utilité
BIBLIOGRAPHIE
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Richard W. Cottle