Pour une preuve complète, voir l’article réciprocité (électromagnétisme). On présente ici une preuve simple courante limitée à l’approximation de deux antennes séparées par une grande distance par rapport à la taille de l’antenne, dans un milieu homogène. La première antenne est l’antenne test dont on veut étudier les diagrammes ; cette antenne est libre de pointer dans n’importe quelle direction. La deuxième antenne est une antenne de référence, qui pointe rigidement vers la première antenne.
Chaque antenne est connectée alternativement à un émetteur ayant une impédance de source particulière, et à un récepteur ayant la même impédance d’entrée (l’impédance peut différer entre les deux antennes).
On suppose que les deux antennes sont suffisamment éloignées l’une de l’autre pour que les propriétés de l’antenne émettrice ne soient pas affectées par la charge qui lui est imposée par l’antenne réceptrice. Par conséquent, la quantité de puissance transférée de l’émetteur au récepteur peut être exprimée comme le produit de deux facteurs indépendants ; l’un dépendant des propriétés directionnelles de l’antenne d’émission, et l’autre dépendant des propriétés directionnelles de l’antenne de réception.
Pour l’antenne d’émission, par la définition du gain, G {\displaystyle G}
, la densité de puissance de rayonnement à une distance r {\displaystyle r}
de l’antenne (c’est-à-dire la puissance passant par unité de surface) est W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\displaystyle \mathrm {W} (\theta ,\Phi )={\frac {\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}P_{t}}
.
Ici, les angles θ {\displaystyle \theta }
et Φ {\displaystyle \Phi }
indiquent une dépendance à la direction depuis l’antenne, et P t {\displaystyle P_{t}}.
représente la puissance que l’émetteur délivrerait dans une charge adaptée. Le gain G {\displaystyle G}
peut être décomposé en trois facteurs ; le gain de l’antenne (la redistribution directionnelle de la puissance), le rendement de rayonnement (prise en compte des pertes ohmiques dans l’antenne), et enfin la perte due à la désadaptation entre l’antenne et l’émetteur. Strictement, pour inclure le mismatch, on devrait l’appeler le gain réalisé, mais ce n’est pas l’usage courant.
Pour l’antenne de réception, la puissance délivrée au récepteur est
P r = A ( θ , Φ ) W {\displaystyle P_{r}=\mathrm {A} (\theta ,\Phi )W\,}
.
Here W {\displaystyle W}
est la densité de puissance du rayonnement incident, et A {\displaystyle A}
est l’ouverture de l’antenne ou la surface effective de l’antenne (la surface que l’antenne devrait occuper pour intercepter la puissance captée observée). Les arguments directionnels sont maintenant relatifs à l’antenne de réception, et de nouveau A {\displaystyle A}
est pris pour inclure les pertes ohmiques et de désadaptation.
En assemblant ces expressions, la puissance transférée de l’émetteur au récepteur est
P r = A G 4 π r 2 P t {\displaystyle P_{r}=A{\frac {G}{4\pi r^{2}}}P_{t}}.
,
où G {\displaystyle G}
et A {\displaystyle A}
sont des propriétés dépendant de la direction des antennes d’émission et de réception respectivement. Pour la transmission de l’antenne de référence (2) vers l’antenne d’essai (1), c’est-à-dire P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi ){\frac {G_{2}}{4\pi r^{2}}}P_{2t}}
,
et pour la transmission dans la direction opposée
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {\displaystyle P_{2r}=A_{2}{\frac {\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}P_{1t}}
.
Ici, le gain G 2 {\displaystyle G_{2}}
et la surface effective A 2 {\displaystyle A_{2}}.
de l’antenne 2 sont fixes, car l’orientation de cette antenne est fixe par rapport à la première.
Pour une disposition donnée des antennes, le théorème de réciprocité exige que le transfert de puissance soit également efficace dans chaque direction, c’est-à-dire que
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {\displaystyle {\frac {P_{1r}}{P_{2t}}={\frac {P_{2r}}{P_{1t}}}}
,
whence
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}={\frac {A_{2}}{G_{2}}}}
.
Mais le côté droit de cette équation est fixe (car l’orientation de l’antenne 2 est fixe), et donc
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}=\mathrm {constant} }
,
c’est-à-dire que la dépendance directionnelle de l’ouverture effective (de réception) et du gain (de transmission) sont identiques (QED). En outre, la constante de proportionnalité est la même quelle que soit la nature de l’antenne, et doit donc être la même pour toutes les antennes. L’analyse d’une antenne particulière (comme un dipôle hertzien), montre que cette constante est λ 2 4 π {\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}.
, où λ {\displaystyle \lambda }
est la longueur d’onde de l’espace libre. Ainsi, pour toute antenne, le gain et l’ouverture effective sont liés par A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {\displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )={\frac {\lambda ^{2}\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi }}}
.
Même pour une antenne de réception, il est plus habituel d’énoncer le gain que de préciser l’ouverture effective. La puissance fournie au récepteur s’écrit donc plus généralement comme
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {\displaystyle P_{r}={\frac {\lambda ^{2}G_{r}G_{t}}{(4\pi r)^{2}}P_{t}}.
(voir lien budget). L’ouverture effective présente cependant un intérêt pour la comparaison avec la taille physique réelle de l’antenne.
Conséquences pratiquesModification
- Lorsque l’on détermine le diagramme d’une antenne de réception par simulation informatique, il n’est pas nécessaire d’effectuer un calcul pour chaque angle d’incidence possible. Au lieu de cela, le diagramme de rayonnement de l’antenne est déterminé par une seule simulation, et le diagramme de réception déduit par réciprocité.
- Lorsqu’on détermine le diagramme d’une antenne par mesure, l’antenne peut être soit réceptrice, soit émettrice, selon ce qui est le plus pratique.
- Pour une antenne pratique, le niveau des lobes latéraux doit être minimal, il est nécessaire d’avoir la directivité maximale.