Un anneau au sens mathématique est un ensemble 
accompagné de deux opérateurs binaires 
et 
(communément interprétés comme étant respectivement l’addition et la multiplication) satisfaisant aux conditions suivantes :
1. Associativité additive : Pour tous les 
, 
,
2. commutativité additive : Pour tous les 
, 
,
3. Identité additive : Il existe un élément 
tel que pour tout 
, 
,
4. Inverse additif : Pour tout 
, il existe 
tel que 
,
5. Distributivité gauche et droite : Pour tout 
, 
et 
,
6. Associativité multiplicative : Pour tous les 
, 
(un anneau satisfaisant cette propriété est parfois explicitement appelé anneau associatif).
Les conditions 1 à 5 sont toujours requises. Bien qu’il existe des anneaux non associatifs, pratiquement tous les textes exigent également la condition 6 (Itô 1986, pp. 1369-1372 ; p. 418 ; Zwillinger 1995, pp. 141-143 ; Harris et Stocker 1998 ; Knuth 1998 ; Korn et Korn 2000 ; Bronshtein et Semendyayev 2004).
Les anneaux peuvent également satisfaire diverses conditions facultatives :
7. commutativité multiplicative : Pour tout 
, 
(un anneau satisfaisant cette propriété est appelé anneau commutatif),
8. Identité multiplicative : Il existe un élément 
tel que pour tout 
, 
(un anneau satisfaisant cette propriété est appelé un anneau unitaire, ou parfois un « anneau avec identité »),
9. Inverse multiplicatif : Pour chaque 
dans 
, il existe un élément 
tel que pour tout 
, 
, où 1 est l’élément identité.
Un anneau satisfaisant toutes les propriétés supplémentaires 6-9 est appelé un champ, alors que celui qui ne satisfait que les propriétés supplémentaires 6, 8 et 9 est appelé une algèbre de division (ou champ oblique).
Certains auteurs s’écartent de la convention normale et exigent (selon leur définition) qu’un anneau comprenne des propriétés supplémentaires. Par exemple, Birkhoff et Mac Lane (1996) définissent un anneau pour avoir une identité multiplicative (c’est-à-dire la propriété 8).
Voici un certain nombre d’exemples d’anneaux manquant de conditions particulières :
1. Sans associativité multiplicative (parfois aussi appelés algèbres non associatives) : octonions, OEIS A037292,
2. Sans commutativité multiplicative : Matrices 
à valeurs réelles, quaternions,
3. Sans identité multiplicative : Entiers à valeurs paires,
4. Sans inverse multiplicatif : entiers.
Le mot anneau est l’abréviation du mot allemand « Zahlring » (anneau de chiffres). Le mot français pour un anneau est anneau, et le mot allemand moderne est Ring, tous deux signifiant (sans grande surprise) « anneau ». Fraenkel (1914) a donné la première définition abstraite de l’anneau, bien que ce travail n’ait pas eu beaucoup d’impact. Le terme a été introduit par Hilbert pour décrire des anneaux comme
En multipliant successivement le nouvel élément 
, il finit par faire une boucle pour devenir quelque chose de déjà généré, quelque chose comme un anneau, c’est-à-dire que 
est nouveau mais 
est un entier. Tous les nombres algébriques ont cette propriété, par exemple, 
satisfait 
.
Un anneau doit contenir au moins un élément, mais n’a pas besoin de contenir une identité multiplicative ou d’être commutatif. Le nombre d’anneaux finis de 
éléments pour 
, 2, …, sont 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, …. (OEIS A027623 et A037234 ; Fletcher 1980). Si 
et 
sont premiers, il existe deux anneaux de taille 
, quatre anneaux de taille 
, 11 anneaux de taille 
(Singmaster 1964, Dresde), 22 anneaux de taille 
, 52 anneaux de taille 
pour 
, et 53 anneaux de taille 
pour 
(Ballieu 1947, Gilmer et Mott 1973 ; Dresde).
Un anneau qui est commutatif sous la multiplication, a un élément unitaire, et n’a pas de diviseurs de zéro est appelé un domaine intégral. Un anneau dont les éléments non nuls forment un groupe de multiplication commutatif est appelé un domaine. Les anneaux les plus simples sont les entiers 
, les polynômes 
et 
à une et deux variables, et les matrices réelles carrées 
.
Les anneaux qui ont été étudiés et trouvés intéressants sont généralement nommés d’après un ou plusieurs de leurs investigateurs. Cette pratique conduit malheureusement à des noms qui donnent très peu d’indications sur les propriétés pertinentes des anneaux associés.
Renteln et Dundes (2005) donnent la (mauvaise) blague mathématique suivante sur les anneaux :
Q : Quel est un groupe abélien sous addition, fermé,associatif, distributif, et qui porte une malédiction ? R : L’anneau du Nibelung.