Les sommes partielles de 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ sont 1, 3, 7, 15, … ; comme elles divergent à l’infini, il en est de même pour la série.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\displaystyle 2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Donc, toute méthode de sommation totalement régulière donne une somme de l’infini, y compris la somme de Cesàro et la somme d’Abel. En revanche, il existe au moins une méthode généralement utile qui additionne 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ à la valeur finie de -1. La série puissance associée
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}.
a un rayon de convergence autour de 0 de seulement 1/2, donc elle ne converge pas en x = 1. Néanmoins, la fonction f ainsi définie a une continuation analytique unique vers le plan complexe avec le point x = 1/2 supprimé, et elle est donnée par la même règle f(x) = 1/1 – 2x. Puisque f(1) = -1, la série originale 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ est dite sommable (E) à -1, et -1 est la somme (E) de la série. (La notation est due à G. H. Hardy en référence à l’approche de Leonhard Euler sur les séries divergentes).
Une approche presque identique (celle d’Euler lui-même) consiste à considérer les séries de puissances dont les coefficients sont tous 1, soit .c’est-à-dire
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}.
et en branchant y = 2. Ces deux séries sont liées par la substitution y = 2x.
Le fait que la sommation (E) attribue une valeur finie à 1 + 2 + 4 + 8 + … montre que la méthode générale n’est pas totalement régulière. En revanche, elle possède d’autres qualités souhaitables pour une méthode de sommation, notamment la stabilité et la linéarité. Ces deux derniers axiomes obligent en fait la somme à être -1, puisqu’ils rendent valide la manipulation suivante :
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}
Dans un sens utile, s = ∞ est une racine de l’équation s = 1 + 2s. (Par exemple, ∞ est l’un des deux points fixes de la transformation de Möbius z → 1 + 2z sur la sphère de Riemann). Si l’on sait qu’une méthode de sommation quelconque renvoie un nombre ordinaire pour s, c’est-à-dire pas ∞, alors il est facile de le déterminer. Dans ce cas, s peut être soustrait des deux côtés de l’équation, ce qui donne 0 = 1 + s, donc s = -1.
La manipulation ci-dessus pourrait être appelée à produire -1 en dehors du contexte d’une procédure de sommation suffisamment puissante. Pour les concepts de somme les plus connus et les plus simples, y compris le convergent fondamental, il est absurde qu’une série de termes positifs puisse avoir une valeur négative. Un phénomène similaire se produit avec la série géométrique divergente 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯, où une série d’entiers semble avoir la somme non entière 1/2. Ces exemples illustrent le danger potentiel de l’application d’arguments similaires aux séries impliquées par des décimales récurrentes telles que 0,111… et plus particulièrement 0,999….. Les arguments sont finalement justifiés pour ces séries convergentes, impliquant que 0,111… = 1/9 et 0,999… = 1, mais les preuves sous-jacentes demandent une réflexion approfondie sur l’interprétation des sommes infinies.
Il est également possible de considérer cette série comme convergente dans un système de nombres différent des nombres réels, à savoir les nombres 2-adiques. En tant que série de nombres 2-adiques, cette série converge vers la même somme, -1, comme cela a été dérivé ci-dessus par continuation analytique.
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