Sivu

Diofanttiyhtälö on yhtälö, joka liittyy kokonaislukujen (tai joskus luonnollisten lukujen tai kokonaislukujen) kvantiteetteihin.

Diofanttiyhtälön ratkaisun tai ratkaisujen löytäminen liittyy läheisesti modulaariseen aritmetiikkaan ja lukuteoriaan. Usein, kun Diofantin yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua, käytetään parametrista muotoa ilmaisemaan yhtälön muuttujien välistä suhdetta.

Diofantin yhtälöt on nimetty muinaisen kreikkalaisen/ aleksandrialaisen matemaatikon Diofantoksen mukaan.

Lineaarinen kombinaatio

Muodossa oleva Diofantin yhtälö tunnetaan lineaarisena kombinaationa. Jos kaksi suhteellisen primitiivistä kokonaislukua ja kirjoitetaan tässä muodossa , yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja. Yleisemmin, on aina ääretön määrä ratkaisuja, kun . Jos , niin yhtälössä ei ole ratkaisuja. Nähdäksemme miksi, tarkastellaan yhtälöä . on LHS:n jakaja (huomaa myös, että on aina oltava kokonaisluku). ei kuitenkaan koskaan ole :n monikerta, joten ratkaisuja ei ole olemassa.

Katsotaan nyt tapausta, jossa . Näin ollen . Jos ja ovat suhteellisen alkulukuja, niin kaikki ratkaisut ovat ilmeisesti muodossa kaikille kokonaisluvuille . Jos ne eivät ole, jaamme ne yksinkertaisesti niiden suurimmalla yhteisellä jakajalla.

Pythagoraan kolmikot

Pääartikkeli: Pythagoraan kolmio

Pythagoraan kolmio on kolmen kokonaisluvun joukko, joka täyttää Pythagoraan lauseen . Pythagoraan kolmioiden löytämiseen on kolme päämenetelmää:

Pythagoraan menetelmä

Jos on pariton luku, niin on Pythagoraan kolmio.

Platonin menetelmä

Jos , on Pythagoraan kolmio.

Babylonialainen menetelmä

Mille tahansa :lle pätee, että on Pythagoraan kolmio.

Neljännen potenssin summa

Muodon yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja seuraavasti: Oletetaan, että yhtälöllä on kokonaislukuratkaisuja, ja tarkastellaan ratkaisua, joka minimoi . Olkoon tämä ratkaisu . Jos , niin niiden GCD on saatava . Ratkaisu olisi tällöin pienempi kuin , mikä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Näin ollen tällä yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja.

Jos , etenemme sitten tapauskohtaisesti .

Huomaa, että jokainen neliö ja siten jokainen neljäs potenssi on joko tai . Todistus tästä on melko yksinkertainen, ja voitte itse näyttää sen.

Tapaus 1:

Tämä merkitsisi , mikä on ristiriita.

Tapaus 2:

Tämä implikoisi , mikä on ristiriita, koska oletimme .

Tapaus 3: , ja

Tiedämme myös, että neliöt ovat joko tai . Näin ollen kaikki neljännet potenssit ovat joko tai .

Valitsemalla samanlaisen lähestymistavan osoitamme, että:

, joten .

Tämä on ristiriita, sillä implikoi, että on pariton, ja implikoi, että on parillinen. QED

Pellin yhtälöt

Pääartikkeli: Pellin yhtälö

Pellin yhtälö on eräänlainen Diofantin yhtälö muodossa luonnolliselle luvulle . Pellin yhtälön ratkaisut, kun ei ole täydellinen neliö, liittyvät :n jatketun murtoluvun laajennukseen. Jos on jatketun murtoluvun jakso ja on :nnen konvergentti, kaikki Pellin yhtälön ratkaisut ovat muodossa positiiviselle kokonaisluvulle .

Ratkaisumenetelmät

Koordinaattitaso

Huomaa, että mikä tahansa lineaarikombinaatio voidaan muuttaa lineaariseksi yhtälöksi , joka on vain suoran kaltevuuden ja leikkauspisteen välinen yhtälö. Diofanttiyhtälön ratkaisut vastaavat suoralla olevia ristikkopisteitä. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä tai . Yksi ratkaisu on (0,1). Jos kuvaat suoran graafisesti, on helppo nähdä, että suora leikkaa ristikkopistettä, kun x ja y kasvavat tai pienenevät saman kertaluvun ja verran (sanamuoto?). Näin ollen yhtälön ratkaisut voidaan kirjoittaa parametrisesti (jos ajattelemme ”lähtöpisteeksi”).

Modulaarinen aritmetiikka

Joskus modulaarista aritmetiikkaa voidaan käyttää todistamaan, että tietylle diofanttiyhtälölle ei ole olemassa ratkaisuja. Tarkemmin sanottuna, jos osoitamme, että kyseinen yhtälö ei ole koskaan tosi mod , jollekin kokonaisluvulle , niin olemme osoittaneet, että yhtälö on väärä. Tätä tekniikkaa ei kuitenkaan voida käyttää osoittamaan, että diofanttiyhtälön ratkaisuja on olemassa.

Induktio

Joskus, kun on löydetty muutama ratkaisu, voidaan induktiota käyttää ratkaisuperheen löytämiseen. Tekniikat, kuten ääretön laskeutuminen (infinite Descent), voivat myös osoittaa, että tietyn yhtälön ratkaisuja ei ole olemassa tai että tietyn perheen ulkopuolisia ratkaisuja ei ole olemassa.

Yleiset ratkaisut

On luonnollista kysyä, onko diofanttilaisille yhtälöille olemassa yleisiä ratkaisuja eli algoritmi, joka löytää ratkaisut mille tahansa tietylle diofanttilaiselle yhtälölle. Tämä tunnetaan nimellä Hilbertin kymmenes ongelma. Vastaus on kuitenkin ei.

Fermat’n viimeinen lause

Pääartikkeli: Fermat’n viimeinen lause

tunnetaan Fermat’n viimeisenä lauseena ehdosta . Fermat kirjoitti 1600-luvulla Diofanttiyhtälöitä käsittelevää kirjaa läpikäydessään marginaaliin seuraavan kommentin: ”Minulla on todella ihmeellinen todistus tästä lauseesta, jonka tämä marginaali on liian kapea sisältääkseen”. Fermat teki itse asiassa monia arvauksia ja ehdotti runsaasti ”teoreemoja”, mutta hän ei ollut sellainen, joka kirjoitti ylös todistuksia tai paljon muuta kuin raapustettuja kommentteja. Hänen kuolemansa jälkeen kaikki hänen arvelunsa todistettiin uudelleen (joko vääriksi tai oikeiksi) lukuun ottamatta Fermat’n viimeistä teoreemaa. Yli 350 vuotta kestäneen todistamatta jättämisen jälkeen lauseen todisti vihdoin Andrew Wiles sen jälkeen, kun hän oli käyttänyt yli 7 vuotta 200-sivuisen todistuksen työstämiseen ja toisen vuoden alkuperäisessä todistuksessa olleen virheen korjaamiseen.

Problems

Introductory

• Kaksi maanviljelijää on yhtä mieltä siitä, että possut ovat arvoltaan dollarin arvoisia ja vuohet arvoltaan dollarin arvoisia. Kun toinen viljelijä on toiselle velkaa, hän maksaa velan sioina tai vuohina, ja ”vaihtorahaa” saadaan tarvittaessa vuohien tai sikojen muodossa. (Esimerkiksi dollarin velka voidaan maksaa kahdella sialla, ja vaihtorahana saadaan yksi vuohi). Mikä on pienimmän positiivisen velan määrä, joka voidaan ratkaista tällä tavalla?

(Lähde)

Keskikurssi

• Olkoon polynomi, jolla on kokonaislukukertoimet ja joka tyydyttää ja Ottaen huomioon, että :lla on kaksi erillistä kokonaislukuratkaisua, ja , etsitään tulo . (Lähde)

Olympiadi

• Määritä :n suurin arvo, jossa ja ovat kokonaislukuja, jotka täyttävät ja . (Lähde)
• Ratkaise kokonaislukuina yhtälö .

.